看著答案猜解法（已知答案是1/256）：
我們知道一個圓上隨機取3點，連成的三角形包含圓心的機率是1/4。做法是取每一點的對稱點，一共有2^3=8種取法，其中只有2種是包含圓心的，所以機率是1/8*2=1/4。易知三角形包含圓心==三段弧每一段長度不超過1/2。所以試圖用這個解法猜一下：
在一個圓上隨機取N個點，對每個點作將圓(N-1)等分的對稱點。假設在這些對稱點中隨機選取，那麼一共是(N-1)^N種取法。在這些取法中有且只有(N-1)種是使得每一段長度不超過1/(N-1)的【這個是猜的】。所以機率是1/(N-1)^(N-1)。代入3，得到1/(3-1)^(3-1)=1/4。代入5，得到1/(5-1)^(5-1)=1/256。可以推廣：任意取4個點，沒有一段線段長度長於1/3的機率是1/(4-1)^(4-1)=1/27，等等等
【猜的部分的證明】證明貌似也不難，把5*4=20個點畫在圓上（每4個點為一組把圓4等分），易知在任意1/4長的圓弧上有且僅有5個點。所以需要取的5個點的順序就是在這段圓弧上的點的順序。容易證明有且僅有這一種取法。根據對稱性，有4種等價的取法（每種就是轉1/4）。這個解法基本上和 @無知的耗子 的解法差不多。
作個圖（以圓上任意取4個點，沒有一段線段長於1/3為例）：
2. 作這四個點對圓3等分的對稱點。易知隨便取一段1/3長的弧，弧上有且僅有4個點；給這些點隨便編個號：
3. 所以將圓分成4份，並且沒有一段圓弧長於1/3的取法有且僅有3種：綠1紅3藍2黃1, 以及另外2種對稱的取法。
4. 因為一共可能的取法有3^4種，所以最後的機率就是3*(3^(-4))=1/27.
看著答案猜解法（已知答案是1/256）：
我們知道一個圓上隨機取3點，連成的三角形包含圓心的機率是1/4。做法是取每一點的對稱點，一共有2^3=8種取法，其中只有2種是包含圓心的，所以機率是1/8*2=1/4。易知三角形包含圓心==三段弧每一段長度不超過1/2。所以試圖用這個解法猜一下：
在一個圓上隨機取N個點，對每個點作將圓(N-1)等分的對稱點。假設在這些對稱點中隨機選取，那麼一共是(N-1)^N種取法。在這些取法中有且只有(N-1)種是使得每一段長度不超過1/(N-1)的【這個是猜的】。所以機率是1/(N-1)^(N-1)。代入3，得到1/(3-1)^(3-1)=1/4。代入5，得到1/(5-1)^(5-1)=1/256。可以推廣：任意取4個點，沒有一段線段長度長於1/3的機率是1/(4-1)^(4-1)=1/27，等等等
【猜的部分的證明】證明貌似也不難，把5*4=20個點畫在圓上（每4個點為一組把圓4等分），易知在任意1/4長的圓弧上有且僅有5個點。所以需要取的5個點的順序就是在這段圓弧上的點的順序。容易證明有且僅有這一種取法。根據對稱性，有4種等價的取法（每種就是轉1/4）。這個解法基本上和 @無知的耗子 的解法差不多。
作個圖（以圓上任意取4個點，沒有一段線段長於1/3為例）：
隨便取4個點，假設是紅藍綠黃；2. 作這四個點對圓3等分的對稱點。易知隨便取一段1/3長的弧，弧上有且僅有4個點；給這些點隨便編個號：
3. 所以將圓分成4份，並且沒有一段圓弧長於1/3的取法有且僅有3種：綠1紅3藍2黃1, 以及另外2種對稱的取法。
4. 因為一共可能的取法有3^4種，所以最後的機率就是3*(3^(-4))=1/27.