抽象函式 一般形式為 y=f(x)且無法用數字和字母表示出來的函式，一般出現在題目中，或許有定義域、值域等。 1抽象函式常常與週期函式結合，如： f(x)=-f(x+2) f(x)=f(x+4) 2解抽象函式題，通常要用賦值法，而且高考數學中，常常要先求F（0） F（1） 抽象函式的經典題目！！！ 我們把沒有給出具體解析式的函式稱為抽象函式。由於這類問題可以全面考查學生對函式概念和性質的理解，同時抽象函式問題又將函式的定義域，值域，單調性，奇偶性，週期性和圖象集於一身，所以在高考中不斷出現；如2002年上海高考卷12題，2004年江蘇高考卷22題，2004年浙江高考卷12題等。學生在解決這類問題時，往往會感到無從下手，正確率低，本文就這類問題的解法談一點粗淺的看法。 一．特殊值法:在處理選擇題時有意想不到的效果。 例1 定義在R上的函式f(x)滿足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，y∈R)，當x0，則函式f (x)在[a,b]上 ( ) A 有最小值f (a) B有最大值f (b) C有最小值f (b) D有最大值f ( ) 分析：許多抽象函式是由特殊函式抽象背景而得到的，如正比例函式f (x)= kx(k≠0)， , , ，可抽象為f (x + y) = f (x) +f (y)，與此類似的還有 特殊函式 抽象函式 f (x)= x f (xy) =f (x) f (y) f (x)= f (x+y)= f (x) f (y) f (x)= f (xy) = f (x)+f (y) f (x)= tanx f(x+y)= 此題作為選擇題可採用特殊值函式f (x)= kx(k≠0) ∵當x 0即kx > 0。.∴k 0，而∴ ，則得 ， 即f (x)在R上是一個減函式，可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b)。 例3 已知函式y = f (x)(x∈R，x≠0)對任意的非零實數 ， ，恆有f( )=f( )+f( ), 試判斷f(x)的奇偶性。 解：令 = -1， =x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) ……①為了求f (-1)的值，令 =1， =-1，則f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令 = =-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ∴f(-1)=0代入①式得 f(-x)=f(x),可得f(x)是一個偶函式。 三．利用函式的圖象性質來解題： 抽象函式雖然沒有給出具體的解析式，但可利用它的性質圖象直接來解題。 抽象函式解題時常要用到以下結論： 定理1：如果函式y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則函式y=f(x)的圖象關於x= 對稱。 定理2：如果函式y=f(x)滿足f(a+x)=f(b+x)，則函式y=f(x)是一個週期函式，週期為a-b。 例4 f(x)是定義在R上的偶函式，且f(x)=f(2-x)，證明f(x)是週期函式。 分析：由 f(x)=f(2-x)，得 f(x)的圖象關於x=1對稱，又f(x)是定義在R上的偶函式，圖象關於y軸對稱，根據上述條件，可先畫出符合條件的一個圖，那麼就可以化無形為有形，化抽象為具體。從圖上直觀地判斷，然後再作證明。 由圖可直觀得T=2,要證其為週期函式，只需證f (x) = f (2 + x)。 證明：f (x) = f (-x) = f [2-(-x)] = f (2 + x)，∴ T=2。 ∴f (x)是一個週期函式。 例5 已知定義在[-2，2]上的偶函式，f (x)在區間[0，2]上單調遞減，若f (1-m)
抽象函式 一般形式為 y=f(x)且無法用數字和字母表示出來的函式，一般出現在題目中，或許有定義域、值域等。 1抽象函式常常與週期函式結合，如： f(x)=-f(x+2) f(x)=f(x+4) 2解抽象函式題，通常要用賦值法，而且高考數學中，常常要先求F（0） F（1） 抽象函式的經典題目！！！ 我們把沒有給出具體解析式的函式稱為抽象函式。由於這類問題可以全面考查學生對函式概念和性質的理解，同時抽象函式問題又將函式的定義域，值域，單調性，奇偶性，週期性和圖象集於一身，所以在高考中不斷出現；如2002年上海高考卷12題，2004年江蘇高考卷22題，2004年浙江高考卷12題等。學生在解決這類問題時，往往會感到無從下手，正確率低，本文就這類問題的解法談一點粗淺的看法。 一．特殊值法:在處理選擇題時有意想不到的效果。 例1 定義在R上的函式f(x)滿足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，y∈R)，當x0，則函式f (x)在[a,b]上 ( ) A 有最小值f (a) B有最大值f (b) C有最小值f (b) D有最大值f ( ) 分析：許多抽象函式是由特殊函式抽象背景而得到的，如正比例函式f (x)= kx(k≠0)， , , ，可抽象為f (x + y) = f (x) +f (y)，與此類似的還有 特殊函式 抽象函式 f (x)= x f (xy) =f (x) f (y) f (x)= f (x+y)= f (x) f (y) f (x)= f (xy) = f (x)+f (y) f (x)= tanx f(x+y)= 此題作為選擇題可採用特殊值函式f (x)= kx(k≠0) ∵當x 0即kx > 0。.∴k 0，而∴ ，則得 ， 即f (x)在R上是一個減函式，可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b)。 例3 已知函式y = f (x)(x∈R，x≠0)對任意的非零實數 ， ，恆有f( )=f( )+f( ), 試判斷f(x)的奇偶性。 解：令 = -1， =x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) ……①為了求f (-1)的值，令 =1， =-1，則f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令 = =-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ∴f(-1)=0代入①式得 f(-x)=f(x),可得f(x)是一個偶函式。 三．利用函式的圖象性質來解題： 抽象函式雖然沒有給出具體的解析式，但可利用它的性質圖象直接來解題。 抽象函式解題時常要用到以下結論： 定理1：如果函式y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則函式y=f(x)的圖象關於x= 對稱。 定理2：如果函式y=f(x)滿足f(a+x)=f(b+x)，則函式y=f(x)是一個週期函式，週期為a-b。 例4 f(x)是定義在R上的偶函式，且f(x)=f(2-x)，證明f(x)是週期函式。 分析：由 f(x)=f(2-x)，得 f(x)的圖象關於x=1對稱，又f(x)是定義在R上的偶函式，圖象關於y軸對稱，根據上述條件，可先畫出符合條件的一個圖，那麼就可以化無形為有形，化抽象為具體。從圖上直觀地判斷，然後再作證明。 由圖可直觀得T=2,要證其為週期函式，只需證f (x) = f (2 + x)。 證明：f (x) = f (-x) = f [2-(-x)] = f (2 + x)，∴ T=2。 ∴f (x)是一個週期函式。 例5 已知定義在[-2，2]上的偶函式，f (x)在區間[0，2]上單調遞減，若f (1-m)