設Un=(3^n +5^n)x^n/n Un+1=[3^(n+1) + 5^(n+1)]x^(n+1)/(n+1) 比值法 lim n→∞ |Un+1/Un| =lim n→∞ |[3^(n+1) + 5^(n+1)]x^(n+1)/(n+1)/(3^n +5^n)x^n/n| =lim n→∞ |x|[3^(n+1) + 5^(n+1)]n/[(n+1)(3^n +5^n)] =lim n→∞ |x|[3^(n+1) + 5^(n+1)]/[(3^n +5^n)] 分子分母同除5^n =lim n→∞ |x| [3(3/5)^n+5]/[(3/5)^n +1] =5|x|＜1 得收斂半徑R=1/5 收斂區間為(-1/5，1/5) 當x=1/5時，Un=[(3/5)^n +1]/n＞1/n 根據比較審斂法可知，由於1/n發散，所以Un也發散。
設Un=(3^n +5^n)x^n/n Un+1=[3^(n+1) + 5^(n+1)]x^(n+1)/(n+1) 比值法 lim n→∞ |Un+1/Un| =lim n→∞ |[3^(n+1) + 5^(n+1)]x^(n+1)/(n+1)/(3^n +5^n)x^n/n| =lim n→∞ |x|[3^(n+1) + 5^(n+1)]n/[(n+1)(3^n +5^n)] =lim n→∞ |x|[3^(n+1) + 5^(n+1)]/[(3^n +5^n)] 分子分母同除5^n =lim n→∞ |x| [3(3/5)^n+5]/[(3/5)^n +1] =5|x|＜1 得收斂半徑R=1/5 收斂區間為(-1/5，1/5) 當x=1/5時，Un=[(3/5)^n +1]/n＞1/n 根據比較審斂法可知，由於1/n發散，所以Un也發散。
當x=-1/5時，Un=[(3/5)^n +1](-1)^n/n=(-3/5)^n/n +(-1)^n/n 對於An=|(-3/5)^n/n| 用根值法可知lim n→∞ (An)^(1/n)=3/5＜1 所以An絕對收斂。對於Bn=(-1)^n/n 用萊布尼茨判別法可知條件收斂。綜上此時Un收斂。故收斂域為[-1/5，1/5)