直角三角形斜邊中線等於斜邊的一半。

設在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC的中線，求證：AD=1/2BC。

【證法1】

延長AD到E，使DE=AD，連線CE。

∵AD是斜邊BC的中線，

∴BD=CD，

又∵∠ADB=∠EDC（對頂角相等），

AD=DE，

∴△ADB≌△EDC（SAS），

∴AB=CE，∠B=∠DCE，

∴AB//CE（內錯角相等，兩直線平行）

∴∠BAC+∠ACE=180°（兩直線平行，同旁內角互補）

∵∠BAC=90°，

∴∠ACE=90°，

∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA，

∴△ABC≌△CEA（SAS）

∴BC=AE，

∵AD=DE=1/2AE，

∴AD=1/2BC。

【證法2】

取AC的中點E，連線DE。

∵AD是斜邊BC的中線，

∴BD=CD=1/2BC，

∵E是AC的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE//AB（三角形的中位線平行於底邊）

∴∠DEC=∠BAC=90°（兩直線平行，同位角相等）

∴DE垂直平分AC，

∴AD=CD=1/2BC（垂直平分線上的點到線段兩端距離相等）。

【證法3】

延長AD到E，使DE=AD，連線BE、CE。

∵AD是斜邊BC的中線，

∴BD=CD，

又∵AD=DE，

∴四邊形ABEC是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），

∵∠BAC=90°，

∴四邊形ABEC是矩形（有一個角是90°的平行四邊形是矩形），

∴AE=BC（矩形對角線相等），

∵AD=DE=1/2AE，

∴AD=1/2BC。