證法1 先做圖,做出過B, C的兩條中線,分別交AC於M,交AB於N,所以M,N是AC,AB的中點.連線MN 設向量BP=λ向量PM,向量CP=μ向量PN(λ,μ為不等於0的實數) 向量BC=向量PC-向量PB=向量BP-向量CP=λ向量PM-μ向量PN, 向量NM=向量PM-向量PN,而向量BC=2向量NM 所以,λ向量PM-μ向量PN=2向量PM-2向量PN 即(λ-2)向量PM-(μ-2)向量PN=O向量 因為向量PM與向量PN不共線,所以λ=2,μ=2 所以向量BP=2向量PM 由此證得兩中線交點把BM分成2:1.同理可證另一條中線與BM的交點也有此性質,故三角形的三條中線交於一點，並平分每條比為1：2 得證. 證法2 作出一個三角形ABC,設D,E,F分別是BC,CA,AB的中點,在平面上任取一點O,設向量OA=a,向量OB=b，向量OC=c 則向量OD=1/2（b+c),向量OF=1/2(a+b),向量OE=1/2(c+a). 再設P為AD上的三等分點，滿足向量AP=2向量PD， 則向量OP=1/3向量OA+2/3OD=1/2a+2/3 * 1/2(a+b)=1/3(a+b+c) 同理可證，P也是BE，CF的三等分點，因此三條中線交於點P。 三角形的3中線交於一點，並平分每條比為1：2
證法1 先做圖,做出過B, C的兩條中線,分別交AC於M,交AB於N,所以M,N是AC,AB的中點.連線MN 設向量BP=λ向量PM,向量CP=μ向量PN(λ,μ為不等於0的實數) 向量BC=向量PC-向量PB=向量BP-向量CP=λ向量PM-μ向量PN, 向量NM=向量PM-向量PN,而向量BC=2向量NM 所以,λ向量PM-μ向量PN=2向量PM-2向量PN 即(λ-2)向量PM-(μ-2)向量PN=O向量 因為向量PM與向量PN不共線,所以λ=2,μ=2 所以向量BP=2向量PM 由此證得兩中線交點把BM分成2:1.同理可證另一條中線與BM的交點也有此性質,故三角形的三條中線交於一點，並平分每條比為1：2 得證. 證法2 作出一個三角形ABC,設D,E,F分別是BC,CA,AB的中點,在平面上任取一點O,設向量OA=a,向量OB=b，向量OC=c 則向量OD=1/2（b+c),向量OF=1/2(a+b),向量OE=1/2(c+a). 再設P為AD上的三等分點，滿足向量AP=2向量PD， 則向量OP=1/3向量OA+2/3OD=1/2a+2/3 * 1/2(a+b)=1/3(a+b+c) 同理可證，P也是BE，CF的三等分點，因此三條中線交於點P。 三角形的3中線交於一點，並平分每條比為1：2