一大類二階微分方程——二階線性微分方程——都可以寫出對應的變分形式.

給如下的 Sturm-Liouville 方程:

總可以寫下如下的變分泛函

對應的Euler-Lagrange方程就是原來的微分方程[1].

給出如下的 S-L 本徵值方程:

with at as boundary conditions.

可以寫出與上面相同的積分, 該積分在如下限制條件

is fixed

進行變分, 對應E-L方程就是上面的本徵值方程 [1].

進一步, 一般的二階常微分方程能否寫為變分形式? Douglas 在1941年給出了答案, 只要滿足一組叫Helmholtz條件的方程(該條件是充分必要的), 就可以寫出變分形式 [2].

[1] Applied Mathematical Methods in Theoretical Physics. Page 326

[2] Wikipedia: Inverse problem for Lagrangian mechanics

PS: 如果你說的是積分方程和微分方程的對應, 那麼 [1] 中也有相應的材料.