本文將推匯出一些新的三角形面積公式，這些公式的特點是與三角形中的一些線段和對邊所成的角度相關聯，並把這些角度當成已知元素。

首先，我們來推導一下中線與對邊的夾角公式。

如上中線與底邊的夾角圖所示，AD是BC邊的中線，是AD與BC的夾角，我們取銳角，類似的可以定義另外兩條中線與對邊所成的夾角。

在三角形ABD中，應用正弦定理，得：，

而，

即：

於是有：

（分母利用餘弦定理得到，分子利用面積公式二）

這便是三角形中線與對邊的夾角公式。

於是我們得到了下面的三角形面積公式：

當我們取為銳角的時候，一定有b>c，但為了嚴密性，我們加上了絕對值。

公式三十六的推導時，我們是為了求解，從中恰好得出了一個三角形的面積公式，倘若我們已知BC長a和中線長以及他們的銳角夾角，又該如何求解三角形的面積呢？

其實很簡單，只需要將三角形ABC分成兩個小三角形，分別利用面積公式二就可以得到了，即：

於是我們便有了下面的面積公式。公式六十四：

然後，我們來推導一下角平分線與對邊的夾角公式。

如上面的角平分線與對邊夾角圖所示，AD為角A的平分線，為AD與BC的夾角，取銳角，同樣的，可以定義，。

我們可以看到：，

於是

於是

即。

在三角形ABD中，應用正弦定理：，既

在三角形ACD中，應用正弦定理：，即，

而，

於是，

於是

利用公式，便可以得到下面的面積公式。

公式六十五：

可以證明上式的分母一定大於0，故不加絕對值。

在這裡，我們來證明一下《三角形的面積公式六敘》中的公式五十八。

由上面推導公式六十五的過程可知：

同時

於是（和差化積）

由正弦定理即比例性質：，

即：（和差化積）

於是有：

由，，，可得：

而

於是：

證畢。

與公式六十四相似，對於角平分線也有一組公式：

公式六十六：

證明：由A作底邊BC的垂線，即，於是，然後由面積公式等於底乘以高的一半，即可得到上面的公式六十六。

由公式六十四和公式六十六來看，這樣求解面積的方法可以推廣到任意三角形內的線段，我們利用《三角形中的線段》一文中的線段長公式，並定義線段與對邊的夾角為，便可以得到一半公式：

公式六十七：

輪換a，b，c，A，B，C，即可得到另外兩個式子。

總結：公式六十六這個求解面積的公式實際上就是底乘高的一半，只不過換成了兩條線段的長度的乘積與其夾角正弦乘積的一半，由於兩個三角形可以拼成一個四邊形，所以這個公式同樣適用於四邊形，即兩條對角線乘積與其夾角正弦乘積的一半，這在後面的文章裡，說到四邊形的面積時，我們還會詳細討論。