如一個m*n（m<n）的矩陣，其秩就是m矩陣的秩等於列向量組的秩也等於行向量組的秩的證明1．定義矩陣的秩：指非零子式的最高階數向量組的秩：指最大無關組中向量的個數2．證明先證明矩陣的秩等於列向量組的秩設矩陣A=[a_11,…,a_1n;…; a_m1,…,a_mn],Rank(A)=r則有某個r階子式不等於，無妨設det(a_11,…,a_1r;…;a_r1,…,a_rr)≠0下證a1,a2,…,ar( aj=(a_1j,…,a_mj)’,j=1,…,r)線性無關若a1*x1+…,+ar*xr=0 （1）或 [a_11*x1+…,+a_1r*xr=0……a_r1*x1+…,+a_rr*xr=0a_r+1,1*x1+…,+a_r+1,r*xr=0……]則由det(a_11,…,a_1r;…;a_r1,…,a_rr)≠0知前r個方程組成的方程組只有零解，從而整個方程組只有零解，即（1）只有零解，因此a1,a2,…,ar線性無關下證A中任意r+1個列向量線性相關，採用反證法，假設存在某r+1個列向量線性無關，無妨設a1,a2,…,ar,a_r+1線性無關,則a1*x1+…,+ar*xr+a_r+1*x_r+1=0只有零解,令A1=[a1,…,ar,a_r+1]，則Rank(A1)=r+1，從而A1有一個r+1階子式不等於零，而此子式也是A中的一個子式，這就說明A中存在不為零的r+1階子式，這與Rank(A)=r矛盾。故假設錯誤，從而A中任意r+1個列向量線性相關，故a1,a2,…,ar為A的一個最大無關組，從而列向量組的秩序為r.這就證明了矩陣的秩等於列向量組的秩現說明矩陣的秩也等於行向量組的秩因Rank(A’)=Rank(A)，Rank(A’)=A’中列向量組的秩，而A’的列向量組即為A的行向量組，故有A行向量組的秩=Rank(A)
如一個m*n（m<n）的矩陣，其秩就是m矩陣的秩等於列向量組的秩也等於行向量組的秩的證明1．定義矩陣的秩：指非零子式的最高階數向量組的秩：指最大無關組中向量的個數2．證明先證明矩陣的秩等於列向量組的秩設矩陣A=[a_11,…,a_1n;…; a_m1,…,a_mn],Rank(A)=r則有某個r階子式不等於，無妨設det(a_11,…,a_1r;…;a_r1,…,a_rr)≠0下證a1,a2,…,ar( aj=(a_1j,…,a_mj)’,j=1,…,r)線性無關若a1*x1+…,+ar*xr=0 （1）或 [a_11*x1+…,+a_1r*xr=0……a_r1*x1+…,+a_rr*xr=0a_r+1,1*x1+…,+a_r+1,r*xr=0……]則由det(a_11,…,a_1r;…;a_r1,…,a_rr)≠0知前r個方程組成的方程組只有零解，從而整個方程組只有零解，即（1）只有零解，因此a1,a2,…,ar線性無關下證A中任意r+1個列向量線性相關，採用反證法，假設存在某r+1個列向量線性無關，無妨設a1,a2,…,ar,a_r+1線性無關,則a1*x1+…,+ar*xr+a_r+1*x_r+1=0只有零解,令A1=[a1,…,ar,a_r+1]，則Rank(A1)=r+1，從而A1有一個r+1階子式不等於零，而此子式也是A中的一個子式，這就說明A中存在不為零的r+1階子式，這與Rank(A)=r矛盾。故假設錯誤，從而A中任意r+1個列向量線性相關，故a1,a2,…,ar為A的一個最大無關組，從而列向量組的秩序為r.這就證明了矩陣的秩等於列向量組的秩現說明矩陣的秩也等於行向量組的秩因Rank(A’)=Rank(A)，Rank(A’)=A’中列向量組的秩，而A’的列向量組即為A的行向量組，故有A行向量組的秩=Rank(A)