有好多公式都被稱為尤拉公式，今天我們講一講簡單多面體的尤拉公式。在之前的問答中，我也多次講到簡單多面體的尤拉公式，也就是頂點數加面數減稜數等於2。

拓撲學簡介

拓撲學(topology)是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科，只考慮物體間的位置關係而不考慮它們的形狀和大小。拓撲學是由幾何學與集合論裡發展出來的學科，研究空間、維度與變換等概念。最早可追溯至萊布尼茨在17世紀提出“位置的幾何學”和“位相分析”。柯尼斯堡七橋問題和尤拉示性數被認為是該領域最初的定理。

簡單多面體

表面由一些平面多邊形所構成的立體，被稱為多面體。無“孔”“洞”的多面體被稱為簡單多面體，如長方體、正方體、三稜椎等。簡單多面體的表面可以連續地形變為一個球面，只要設想它的表面是有彈性的橡皮薄膜，充氣後它就會膨脹成一個球面。

用降維的思路證明尤拉公式

科幻電影三體中有個降維打擊。什麼叫降維，比較形象的說法就是拍扁了。

1、先考慮最簡單的二維圖形。二維圖形有三角形，四邊形，五邊形，六邊形直至n邊形。大家可以發現，這些圖形，有幾個頂點就對應的有幾條稜，同時還有一個面兒。對於二維圖形，頂點數加面數減稜數等於1，我們可以把這個事實理解成平面圖形的尤拉公式。

2、對多面體進行降維處理。把多面體放著在地面上，將其底面進行拉伸擴大。再將多面體拍扁，這個多面體就變成了一個比較複雜的平面圖形。新增輔助線，將圖形轉化成由若干個三角形組成的圖形。依次拆除三角形，最後會發現，只剩下一個三角形。頂點數加面數減稜數等於1。事實上，我們最初還有一個面，沒有計算在內，所以簡單多面體的尤拉公式是頂點數加面數減稜數等於2，這裡的2就是尤拉示性數。具體的過程大家可以自行想象一下。

用數學歸納法證明

主要還是請大家想象，先想象一個四面體（也叫三稜錐）。

1、四面體是最初始的多面體，它有四個頂點、四個面、六條稜，滿足尤拉公式。

2、將這個四面體切一刀，變成五面體。頂點數增加了兩個，面數增加了一個，稜數增加了三個，尤拉公式依然成立。換一種切法還有可能頂點數增加一個，面數一個，等數增加兩個，尤拉公式也成立。

3、第2步可以不斷的進行下去，可以證明對於任意，簡單多面體尤拉公式成立。

至於那個恆等式，它有名是因為它把幾個重要常數聯絡到了一起了，對於普通人來說，複變函式什麼的和他們沒得任何關係，只不過是看個熱鬧而已，所以說知道有這麼個很有名的恆等式就可以了，不要再自以為是的還跑出來“質疑”人家有什麼用