讓我們從矩陣和向量的起源講起。

在很久以前，人們知道了要表示二維平面一個點 ，可以把它看成是一個有方向的向量。人們進一步發現，這個 ，實際上可以看成是以 為基底的方程組：

，

人們把這兩個基底的組合，稱為一個矩陣 ，

這樣就變成了 。

如果改變方程組的係數：

，

這樣就變成了 ，

實際上就是把基底 換成了 。

可見矩陣和向量就是為了變換而生的。

根據經驗，人們知道，把基底這麼一換，空間會發生線性變化，但這個空間仍然是二維空間，原來的那個向量 也仍然是一個二維向量。

問題自然來了。如何把 變成一維（數軸）上的向量呢？

變成一維的做起來簡單。只要用一個一維向量左乘一個一維向量就行：

，

這就是兩個向量的內積。可見內積本質上也是矩陣變換的一種啊。把一個二維向量變換到一維空間去，其結果當然是標量（值的意義上）了。

那麼怎麼把 變成一個三維的向量呢？

同樣很簡單。用一個 的矩陣左乘它就行了。

，3

結果會是一個三維向量。那麼向量積有沒有可能是來自於一個一維向量呢？

回想一下兩三維向量外積的公式，可以把上式寫成

，

這是一個二元三式方程組。解出來不存在這樣的 。所以向量積無法透過線性變換得到（也就是不能寫成方程組的形式）。那麼向量積的本質為何？

以三維空間為例，我們知道，在定義線性變換的時候，我們約定了三個基底

。

然而，我們知道，向量積裡面的約定卻是

。

這說明向量積的基底相互作用方式已經不再適合用代數方程組來體現了。

這時候基底之間的相互作用體現為旋轉，而不是數量的增長。

比如說著名的旋度，就可以從向量場的梯度的向量積得到。

對於一向量場 ，它的梯度為

。

此時，對於右方的單位向量乘法有兩種處理方式。

第一種方式，採用點乘，體現它的數量上的性質，得到散度

。

第二種方式，採用叉乘，體現它的旋轉上的性質，得到旋度

。