無限迴圈小數0.999……等於1，如果用分數表示可以表示成1/1或2/2或3/3等等。關於無限迴圈小數0.999……是否等於1的問題應該是困擾了好多小學生。

奧數老師應該講過迴圈小數化為分數的方程法，對於無限迴圈小數0.999……同樣適用。

設0.999……=x，等式兩邊同時乘以10（也就是小數點向右移動一位）就可以得到9+0.999……=10x，也就是9+x=10x，得到x=1。這個方法是正確的，但並不嚴格。

比如計算……111等於多少。也就是從個位開始十位、百位、千位、萬位、十萬位、百萬位、千萬位、億位等等各位上的數字都是1，問這個數是多少？設……111=x,等式兩邊同時除以10（也就是小數點向左移動一位）,就可以得到……11.1=x/10，也就是x+0.1=x/10，解得x=-1/9，這無疑很荒謬。

下面我從珠算的角度來解釋一下這兩者為什麼相等？我們需要一把普通的算盤，最好是上面兩個珠下面五個珠的傳統算盤，因為這樣的算盤更便於進行除法的運算。在珠算口訣中有商九口訣，商九口訣其實就是用歸除法打一歸發現不夠除之後再退商。比如計算19÷19其實就等於1，如果用珠算打一規的話，也就是逢一進一、一九〇九兩句口訣就可以搞定。換一個抬槓的人，就要用商九口訣打也行，我們就需要換一把無限檔位的算盤了，可以想象一下這個算盤是什麼樣子。

先布數見一無除作九一減去 九九八一再進行見一無除作九一，減去 九九八一的操作。再進行一次這個過程可以無限進行下去，就會得到19÷19等於0.999……。其實用下面的圖或許更能說明問題。

這個題目在知乎悟空問答多次出現，轉不過彎的很多。現在常見的數學結構是以極限重新構建，另外一種以無窮小構建非標準分析結構（非標準分析（概念上又可稱為實無限分析）(英語：Non-standard analysis)是一個數學分支，它用嚴格定義的無限小的數（infinitesimal number）的概念來構建分析學。）

極限最本質的理解，扇人一個耳光，從物理角度我們知道，這耳光是無法直接接觸到對方的，但別人說你打人了。極限也是如此，一個數無限趨於某個數，雖然永遠不能到達，那就等於這個數，數學中的實數在任意小的區間有無窮個有理數和無窮個無理數。極限已經拋棄無窮小的概念，就不要去糾結無窮小，只有這樣想才能轉過彎來。

再貼一個教科書中的理解。數學是建立在公理上邏輯自洽的系統，以極限建立的系統只能從極限來理解。就像歐氏幾何，你從非歐幾何角度找碴，那就沒法說話了。迴圈小數更像一種找某個數的規則，0.9的迴圈，在數軸0和1的區間內，進行10等分，這個點在最後一個小區間內，對小區間繼續10等分，這個點還是在最後一個區間內……根據極限規則，這個數就等於1。

對各種亂七八槽的解釋看看就行，越看越糊塗，真正理解還是以教科書為準。