(1)設(x1,y1)和(x2,y2)為符合條件的點,則這兩點在橢圓上,有

x1平方 2y1平方=4

(a),

x2平方 2y2平方=4

(b) ,

又這兩點中點為A(1,1),所以有

(x1 x2)/2=1

(c),

(y1 y2)/2=1

(d),

所以有(a)-(b)得x1平方-x2平方 2(y1平方-y2平方)=0,

即為(x1 x2)(x1-x2) 2(y1 y2)(y1-y2)=0,

所以(x1 x2)/(y1 y2)=2(y1-y2)/(x1-x2)

又(c)/(d)得(x1 x2)/(y1 y2)=1,

所以有(y1-y2)/(x1-x2)=1/2,即所求直線方程的斜率為1/2

所以所要求的直線為y=1/2(x-1) 1

即y=1/2x 1/2

(2)依題意,設直線方程為y=2x b,同樣設(x1,y1)和(x2,y2)為符合條件的點,則有

x1平方 2y1平方=4

(a),

x2平方 2y2平方=4

(b),

所以中點(x,y)為

x=(x1 x2)/2

(c),

y=(y1 y2)/2

(d),

所以有(a)-(b)得x1平方-x2平方 2(y1平方-y2平方)=0,

即為(x1 x2)(x1-x2) 2(y1 y2)(y1-y2)=0,

所以(x1 x2)/(y1 y2)=2(y1-y2)/(x1-x2)

(e),

又(c)/(d)得x/y=(x1 x2)/(y1 y2),

斜率為2,即為(y1-y2)/(x1-x2)=2

帶入(e)得x/y=4

所以斜率為2的平行弦的中點的軌跡方程為y=x/4,(-2<=x<=2)