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  • 1 # a不會愛的小笨蛋

    後面有24個0。 從1到10,連續10個整數相乘: 1×2×3×4×5×6×7×8×9×10。 連乘積的末尾有幾個0? 答案是兩個0。其中,從因數10得到1個0,從因數2和5相乘又得到1個0,共計兩個。 剛好兩個0?會不會再多幾個呢? 如果不相信,可以把乘積計算出來,結果得到 原式=3628800。你看,乘積的末尾剛好兩個0,想多1個也沒有。 那麼,如果擴大規模,拉長隊伍呢?譬如說,從1乘到20: 1×2×3×4×…×19×20。這時乘積的末尾共有幾個0呢? 現在答案變成4個0。其中,從因數10得到1個0,從20得到1個0,從5和2相乘得到1個0,從15和4相乘又得到1個0,共計4個0。 剛好4個0?會不會再多幾個? 請放心,多不了。要想在乘積末尾得到一個0,就要有一個質因數5和一個質因數2配對相乘。在乘積的質因數里,2多、5少。有一個質因數5,乘積末尾才有一個0。從1乘到20,只有5、10、15、20裡面各有一個質因數5,乘積末尾只可能有4個0,再也多不出來了。 把規模再擴大一點,從1乘到30: 1×2×3×4×…×29×30。現在乘積的末尾共有幾個0? 很明顯,至少有6個0。 你看,從1到30,這裡面的5、10、15、20、25和30都是5的倍數。從它們每個數可以得到1個0;它們共有6個數,可以得到6個0。 剛好6個0?會不會再多一些呢? 能多不能多,全看質因數5的個數。25是5的平方,含有兩個質因數5,這裡多出1個5來。從1乘到30,雖然30個因數中只有6個是5的倍數,但是卻含有7個質因數5。所以乘積的末尾共有7個0。 乘到30的會做了,無論多大範圍的也就會做了。 例如,這次乘多一些,從1乘到100: 1×2×3×4×…×99×100。現在的乘積末尾共有多少個0? 答案是24個。

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