f(n)=(4*10^n-5.5+1.5*(-1)^n)/33
絕對的最簡式
過程如下：
此題分奇偶項來計算最為簡便：
奇數項為1，121，12121，1212121，...(注意項數分別為1,3,5...)
偶數項為12,1212,121212,12121212,...(注意項數分別為2,4,6...)
那麼分奇偶項的遞推式很容易求得(觀察就可以):
f(2k+1)=f(2k-1)+12*10^(2k-1);
f(2k+2)=f(2k)+12*10^(2k)(k=1,2,3,...)
對於奇數項,有
f(2k+1)-f(2k-1)=12*10^(2k-1)
即奇數項的前後項之差構成一個以10為公比的等比數列,
同理偶數項亦如此。
那麼就可寫出分奇偶項的通項公式如下：
f(2k+1)=1+12*10*(100^k-1)/(100-1)=1+(4*10^(2k+1)-40)/33
=4*10^(2k+1)/33-7/33;
f(2k+2)=12+12*100*(100^k-1)/(100-1)=12+(4*10^(2k+2)-400)/33
=4*10^(2k+2)-4/33;
(請一定注意分奇偶項時等比數列的公比是100,而非10)
那麼進一步整理為用n代替奇偶分項:
f(n)=4*10^n/33-7/33.....n為奇數;
f(n)=4*10^n/33-4/33.....n為偶數
最後把兩式中相異的常數透過(-1)^n表示出來即可:
-5.5+1.5*(-1)^n=-7.....n為奇數;
=-4.....n為偶數
這樣通項就求出來了
f(n)=(4*10^n-5.5+1.5*(-1)^n)/33
絕對的最簡式
過程如下：
此題分奇偶項來計算最為簡便：
奇數項為1，121，12121，1212121，...(注意項數分別為1,3,5...)
偶數項為12,1212,121212,12121212,...(注意項數分別為2,4,6...)
那麼分奇偶項的遞推式很容易求得(觀察就可以):
f(2k+1)=f(2k-1)+12*10^(2k-1);
f(2k+2)=f(2k)+12*10^(2k)(k=1,2,3,...)
對於奇數項,有
f(2k+1)-f(2k-1)=12*10^(2k-1)
即奇數項的前後項之差構成一個以10為公比的等比數列,
同理偶數項亦如此。
那麼就可寫出分奇偶項的通項公式如下：
f(2k+1)=1+12*10*(100^k-1)/(100-1)=1+(4*10^(2k+1)-40)/33
=4*10^(2k+1)/33-7/33;
f(2k+2)=12+12*100*(100^k-1)/(100-1)=12+(4*10^(2k+2)-400)/33
=4*10^(2k+2)-4/33;
(請一定注意分奇偶項時等比數列的公比是100,而非10)
那麼進一步整理為用n代替奇偶分項:
f(n)=4*10^n/33-7/33.....n為奇數;
f(n)=4*10^n/33-4/33.....n為偶數
最後把兩式中相異的常數透過(-1)^n表示出來即可:
-5.5+1.5*(-1)^n=-7.....n為奇數;
=-4.....n為偶數
這樣通項就求出來了