羅爾定理，
對一個函式y=f(x),
在[x1,x2]上，有f(x1)=f(x2)=0
f(x)連續可導,而且導函式連續，則存在一點μ∈（x1,x2），使得f"(μ）=0
（用連續函式的最大值最小值定理以及可導函式的求導的定義式可以證明）
則考慮連續可導函式y=g(x),在[a,b]上，
建構函式：
G(x)=g(x)-(g(a)-g(b))/(a-b)·x+(b·g(a)-a·g（b))/(a-b)
則G(a)=G(b)=0
G(x)在[a,b]上連續可導,而且導函式連續，由羅爾定理
存在一點μ∈（a,b）,G"(μ）=0
即：g"(μ）=(g(a)-g(b))/(a-b)
上式就是拉格朗日定理
由帶佩亞諾餘項的泰勒公式有：
對於n階可導的函式f(x),
f(x)=f(x0)+f"(x0)(x-x0)/1!+f""(x0)(x-x0)^2/2!+…
+f(n-1)(x0)(x-x0)^(n-1)/(n-1)!+o[(x-x0)^(n-1)]
（o[(x-x0)^(n-1)]=f(n)(x0)(x-x0)^(n)/n!
對兩邊求n-1次導數有：f(n-1)(x)=f(n-1)(x0)+f(n)(x0)·(x-x0)
移項有：f(n)(x0)=[f(n-1)(x)-f(n-1)(x0)]/(x-x0)
由導數的定義式可得，（x-x0）→0時，兩邊相等，得證）
下證帶有拉格朗日型餘項的泰勒公式：
對於存在直到n+1階連續導函式的函式f(x),
+f(n)(x0)(x-x0)^n/n!+f(n+1)(μ)(x-x0)^(n+1)/(n+1)!
μ∈（x0,x)
兩邊求n次導數
f(n)(x)=f(n)(x0)+f(n+1)(μ）·(x-x0)
對比拉格朗日定理，由於存在n+1階導數
f(n)(x)在[x0,x]上連續可導,而且導函式連續
由拉格朗日定理：
存在一點μ∈（x0,x），f"(n)(μ）=(f(n)(x)-f(n)(x0))/(x-x0)
即得：f(n)(x)=f(n)(x0)+f(n+1)(μ）·(x-x0)
證畢口
羅爾定理，
對一個函式y=f(x),
在[x1,x2]上，有f(x1)=f(x2)=0
f(x)連續可導,而且導函式連續，則存在一點μ∈（x1,x2），使得f"(μ）=0
（用連續函式的最大值最小值定理以及可導函式的求導的定義式可以證明）
則考慮連續可導函式y=g(x),在[a,b]上，
建構函式：
G(x)=g(x)-(g(a)-g(b))/(a-b)·x+(b·g(a)-a·g（b))/(a-b)
則G(a)=G(b)=0
G(x)在[a,b]上連續可導,而且導函式連續，由羅爾定理
存在一點μ∈（a,b）,G"(μ）=0
即：g"(μ）=(g(a)-g(b))/(a-b)
上式就是拉格朗日定理
由帶佩亞諾餘項的泰勒公式有：
對於n階可導的函式f(x),
f(x)=f(x0)+f"(x0)(x-x0)/1!+f""(x0)(x-x0)^2/2!+…
+f(n-1)(x0)(x-x0)^(n-1)/(n-1)!+o[(x-x0)^(n-1)]
（o[(x-x0)^(n-1)]=f(n)(x0)(x-x0)^(n)/n!
對兩邊求n-1次導數有：f(n-1)(x)=f(n-1)(x0)+f(n)(x0)·(x-x0)
移項有：f(n)(x0)=[f(n-1)(x)-f(n-1)(x0)]/(x-x0)
由導數的定義式可得，（x-x0）→0時，兩邊相等，得證）
下證帶有拉格朗日型餘項的泰勒公式：
對於存在直到n+1階連續導函式的函式f(x),
f(x)=f(x0)+f"(x0)(x-x0)/1!+f""(x0)(x-x0)^2/2!+…
+f(n)(x0)(x-x0)^n/n!+f(n+1)(μ)(x-x0)^(n+1)/(n+1)!
μ∈（x0,x)
兩邊求n次導數
f(n)(x)=f(n)(x0)+f(n+1)(μ）·(x-x0)
對比拉格朗日定理，由於存在n+1階導數
f(n)(x)在[x0,x]上連續可導,而且導函式連續
由拉格朗日定理：
存在一點μ∈（x0,x），f"(n)(μ）=(f(n)(x)-f(n)(x0))/(x-x0)
即得：f(n)(x)=f(n)(x0)+f(n+1)(μ）·(x-x0)
證畢口