本節共提供三個例子。

例1 設是元實陣列全體，令　　，　　其中，，。

我們證明是一個距離空間，為此我們需要驗證滿足距離的三條公理。1)，2)顯然成立，關鍵是證明3)成立。我們先證明一下Cauchy不等式：對任意實數，，我們有　　。

事實上，任取實數，則　　，　　上面等式左端是的一個二次三項式，於是它的判別式不大於0，即Cauchy不等式成立。

下面證明3)成立，由Cauchy不等式，得　　　　　　　　。　　設是任意三點，在上面不等式中令，則　　，　　即　　。

所以是一個距離空間，我們把這個空間簡記為。

例2 考慮區間上所有連續函式集，設是上任意兩個連續函式，定義　　，　　由於也是上的連續函式，因此有最大值。距離公理1)2)顯然成立。設是上任意三個連續函式，則　　　　　　。　　所以　　。

由此可知上的連續函式全體賦以上述距離是一個距離空間，記為。

例3 考慮實數列的全體。設是兩個實數列，定義　　　　上式右邊的是一個收斂因子，保證級數收斂，距離公理的1)2)顯然成立，為證明3)成立，考慮上的函式　　，　　易見，所以是單增的。由此，設。由於　　，　　則有　　　　　　　　。　　在上不等式兩邊乘並求和，得到　　　　　　　　。

我們稱這個距離空間為。