證明：過點D分別作DH平行BC交AC於H ，DG平行AC交BC於G,連線HN

所以角ADH=角ABC

角AHD=角ACB

角MDG=角E

角MGD=角MCE

角DGB=角ACB

四邊形DGCH是平行四邊形

所以DG=CH

因為DM=ME

所以三角形DMG全等三角形EMC (AAS)

所以GD=CE

所以GD=CE=CH

因為EH=CH+CE

所以GD=CH=1/2EH

因為AB=AC

所以三角形ABC是等腰三角形

角ABC=角ACB

所以角ABC=角DGB

角ADH=角AHD

所以BD=GD=CH=1/2EH

AD=AH

因為AF垂直BC

所以AF是等腰三角形ABC的垂線，角平分線

所以角DAN=角HAN

因為AN=AN

所以三角形DAN全等三角形HAN (SAS)

所以DN=HN

角ADE=角AHN

因為角ADE=2角E

所以角AHN=2角E

因為角AHN=角E+角ENH

所以角E=角ENH

所以EH=NH

所以DN=EH

所以BD=1/2DN

所以DN=2BD