整數有多少個？
無窮個。
偶數有多少個？
這樣的回答是正確的。如果我問你：
整數與偶數，哪一種數多？
恐怕不少同學都會說，當然整數比偶數多了。進一步，恐怕還會有同學告訴我，“偶數的個數等於整數個數的一半”。什麼道理呢？那是因為“奇數與偶數合起來就是整數。而奇數與偶數是相同排列的，所以奇數與偶數一樣多，大家都是整數的一半。”
整數包括偶數，偶數是整數的一部分，全體大於部分，整數比偶數多，這不是顯而易見、再明白不過的事嗎？
你認為這樣的回答有道理嗎？
16世紀義大利著名科學家伽利略的看法卻與此相反，他曾提出過一個著名的悖論，叫做“伽利略悖論”，悖論的內容是：“整數和偶數一樣多”。這似乎違背常識。
不過，伽利略所說的，也絕不是沒有道理。首先，我們論述的物件都是無窮個，而不是有限個，對於有限個來說，“全體大於部分”無可爭議。從1到10的整數比從1到10的偶數就是多。但是，把這個用到無窮上就要重新考慮了。對於有限來說，說兩堆物體數量一樣多，只要把各堆物體數一下，看看兩堆物體的數量是否相等就可以。這個辦法對“無窮”來說是不適用的，因為“無窮”本身就包括“數不完”的意思在內。看起來，我們得另想辦法。
據說，居住在非洲的有些部族，數數最多不超過3，但是他們卻知道自己放牧的牛羊是否有丟失。辦法是，早上開圈放羊時，讓羊一隻一隻往外出。每出一隻羊，牧羊人就拾一塊小石頭。顯然，羊的個數和小石頭的個數一樣多。傍晚，放牧歸來，每進圈一隻羊，牧羊人從小石頭堆中仍掉一塊石頭。如果羊全部進了圈，而小石頭一個沒剩，說明羊一隻也沒丟。非洲牧羊人實際上採取了“一對一”的辦法，兩堆物體只要能建立起這種一對一的關係，就可以說明兩堆物體的數量一樣多。
這種辦法同樣可以用在無窮上，看看要比較的兩部分之間能否建立起這種一對一的關係。伽利略在整數與偶數之間建立的對應關係是：
0 1 2 3 4 …
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
2 4 6 8 10 …
按這樣的一種關係，給出一個整數，就可以找出一個偶數與之對應，給出的整數不同，與之相對應的偶數也不同；反過來，對於每一個偶數，都可以找到一個自然數與之對應，偶數不同，所對應的整數也不同，由此我們稱整數與偶數之間建立了一對一的關係，所以我們說：“整數與偶數一樣多”是正確的。
這告訴我們，“無窮”是不能用“有限”中的法則來衡量的，許多對“有限”成立的性質，對“無窮”卻未必成立。
整數有多少個？
無窮個。
偶數有多少個？
無窮個。
這樣的回答是正確的。如果我問你：
整數與偶數，哪一種數多？
恐怕不少同學都會說，當然整數比偶數多了。進一步，恐怕還會有同學告訴我，“偶數的個數等於整數個數的一半”。什麼道理呢？那是因為“奇數與偶數合起來就是整數。而奇數與偶數是相同排列的，所以奇數與偶數一樣多，大家都是整數的一半。”
整數包括偶數，偶數是整數的一部分，全體大於部分，整數比偶數多，這不是顯而易見、再明白不過的事嗎？
你認為這樣的回答有道理嗎？
16世紀義大利著名科學家伽利略的看法卻與此相反，他曾提出過一個著名的悖論，叫做“伽利略悖論”，悖論的內容是：“整數和偶數一樣多”。這似乎違背常識。
不過，伽利略所說的，也絕不是沒有道理。首先，我們論述的物件都是無窮個，而不是有限個，對於有限個來說，“全體大於部分”無可爭議。從1到10的整數比從1到10的偶數就是多。但是，把這個用到無窮上就要重新考慮了。對於有限來說，說兩堆物體數量一樣多，只要把各堆物體數一下，看看兩堆物體的數量是否相等就可以。這個辦法對“無窮”來說是不適用的，因為“無窮”本身就包括“數不完”的意思在內。看起來，我們得另想辦法。
據說，居住在非洲的有些部族，數數最多不超過3，但是他們卻知道自己放牧的牛羊是否有丟失。辦法是，早上開圈放羊時，讓羊一隻一隻往外出。每出一隻羊，牧羊人就拾一塊小石頭。顯然，羊的個數和小石頭的個數一樣多。傍晚，放牧歸來，每進圈一隻羊，牧羊人從小石頭堆中仍掉一塊石頭。如果羊全部進了圈，而小石頭一個沒剩，說明羊一隻也沒丟。非洲牧羊人實際上採取了“一對一”的辦法，兩堆物體只要能建立起這種一對一的關係，就可以說明兩堆物體的數量一樣多。
這種辦法同樣可以用在無窮上，看看要比較的兩部分之間能否建立起這種一對一的關係。伽利略在整數與偶數之間建立的對應關係是：
0 1 2 3 4 …
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
2 4 6 8 10 …
按這樣的一種關係，給出一個整數，就可以找出一個偶數與之對應，給出的整數不同，與之相對應的偶數也不同；反過來，對於每一個偶數，都可以找到一個自然數與之對應，偶數不同，所對應的整數也不同，由此我們稱整數與偶數之間建立了一對一的關係，所以我們說：“整數與偶數一樣多”是正確的。
這告訴我們，“無窮”是不能用“有限”中的法則來衡量的，許多對“有限”成立的性質，對“無窮”卻未必成立。