摘要：本文將介紹幾種推導點到直線的距離公式的方法。本文預設情況下，直線的方程為，A，B均不為0，斜率為，點的座標為P(x0，y0)，點到的距離為。推導一（面積法）：如上圖所示，設，，由R，S在直線上，得到：，，所以：，，所以：，，於是：，所以從三角形面積公式知：，從而有：。推導二（三角函式斜率法）：如上圖所示，直線的傾角為α，同推導一，，，又有及三角函式公式，代入消去α，便有：。推導三（求點法）：如上圖所示：因為，所以，所以直線PQ方程為：，聯立，求出Q點的座標為，所以：。推導四（造圓切線法）：如上圖所示，以點P為圓心，作圓與直線相切，則此圓的方程為：，聯立直線方程消去y得：，由相切的條件知：，即：，解得：。推導五（函式極值法）：如上圖所示，該問題可以轉化為求直線上一動點Q，使得PQ的距離最短，當然我們已經知道d是最短的，這樣，問題就變為了一個二元函式的條件極值問題，函式為：，d就是函式，條件就是，求最小值，由於距離始終大於0，我們考慮根號裡面的二元二次函式極值問題，我們採用拉格朗日乘數法。令，所以&L_x"=+2(x-x_0)+\lambda+A+=+0+&+\\+&L_y"+=+2(y-y_0)++\lambda+B+&+\\&L_\lambda+"+=+Ax+By+C+=+0+&+\\\end{aligned}\right."= 2(x-x_0)+\lambda A = 0 & \\ <br>&L_y" = 2(y-y_0)+ \lambda B & \\<br>&L_\lambda " = Ax+By+C = 0 & \\<br>\end{aligned}\right." eeimg="1"/>，解得：，。代入函式中，即得：。推導六（對稱求點法）：如上圖所示，設是關於直線的對稱點，於是有：&\frac{y"-y_0}{x"-x_0}+\cdot+(-\frac{A}{B})+=+-1+&+\\+&A\cdot+\frac{x"+x_0}{2}+++B\cdot+\frac{y"+y_0}{2}+++C+=+0+&+\\\end{aligned}\right."-y_0}{x"-x_0} \cdot (-\frac{A}{B}) = -1 & \\ <br>&A\cdot \frac{x"+x_0}{2} + B\cdot \frac{y"+y_0}{2} + C = 0 & \\<br>\end{aligned}\right." eeimg="1"/>，解得：，，所以：。推導七（求高法）：如上圖所示，由直線方程可求得R、S的座標，即，，於是三角形ROS的面積為：，所以：，所以：。推導八（相似三角形法）：如圖所示，，，於是，於是，由直線分線段比公式可得：，而，所以。總結：平面解析幾何主要的研究物件是直線與圓錐曲線，而平面幾何主要的物件是直線以及由線段組成的幾何圖形，因此在解析幾何的問題中，往往使用平面幾何的知識就能帶來更加簡潔的過程，同時，我們可以發現，即便是一個簡單的問題，也會有許多不同的辦法，每一種辦法都是一個知識點的應用，善於發現並比較這些方法，會更讓我們的思維開闊，創新就是這麼來的！
摘要：本文將介紹幾種推導點到直線的距離公式的方法。本文預設情況下，直線的方程為，A，B均不為0，斜率為，點的座標為P(x0，y0)，點到的距離為。推導一（面積法）：如上圖所示，設，，由R，S在直線上，得到：，，所以：，，所以：，，於是：，所以從三角形面積公式知：，從而有：。推導二（三角函式斜率法）：如上圖所示，直線的傾角為α，同推導一，，，又有及三角函式公式，代入消去α，便有：。推導三（求點法）：如上圖所示：因為，所以，所以直線PQ方程為：，聯立，求出Q點的座標為，所以：。推導四（造圓切線法）：如上圖所示，以點P為圓心，作圓與直線相切，則此圓的方程為：，聯立直線方程消去y得：，由相切的條件知：，即：，解得：。推導五（函式極值法）：如上圖所示，該問題可以轉化為求直線上一動點Q，使得PQ的距離最短，當然我們已經知道d是最短的，這樣，問題就變為了一個二元函式的條件極值問題，函式為：，d就是函式，條件就是，求最小值，由於距離始終大於0，我們考慮根號裡面的二元二次函式極值問題，我們採用拉格朗日乘數法。令，所以&L_x"=+2(x-x_0)+\lambda+A+=+0+&+\\+&L_y"+=+2(y-y_0)++\lambda+B+&+\\&L_\lambda+"+=+Ax+By+C+=+0+&+\\\end{aligned}\right."= 2(x-x_0)+\lambda A = 0 & \\ <br>&L_y" = 2(y-y_0)+ \lambda B & \\<br>&L_\lambda " = Ax+By+C = 0 & \\<br>\end{aligned}\right." eeimg="1"/>，解得：，。代入函式中，即得：。推導六（對稱求點法）：如上圖所示，設是關於直線的對稱點，於是有：&\frac{y"-y_0}{x"-x_0}+\cdot+(-\frac{A}{B})+=+-1+&+\\+&A\cdot+\frac{x"+x_0}{2}+++B\cdot+\frac{y"+y_0}{2}+++C+=+0+&+\\\end{aligned}\right."-y_0}{x"-x_0} \cdot (-\frac{A}{B}) = -1 & \\ <br>&A\cdot \frac{x"+x_0}{2} + B\cdot \frac{y"+y_0}{2} + C = 0 & \\<br>\end{aligned}\right." eeimg="1"/>，解得：，，所以：。推導七（求高法）：如上圖所示，由直線方程可求得R、S的座標，即，，於是三角形ROS的面積為：，所以：，所以：。推導八（相似三角形法）：如圖所示，，，於是，於是，由直線分線段比公式可得：，而，所以。總結：平面解析幾何主要的研究物件是直線與圓錐曲線，而平面幾何主要的物件是直線以及由線段組成的幾何圖形，因此在解析幾何的問題中，往往使用平面幾何的知識就能帶來更加簡潔的過程，同時，我們可以發現，即便是一個簡單的問題，也會有許多不同的辦法，每一種辦法都是一個知識點的應用，善於發現並比較這些方法，會更讓我們的思維開闊，創新就是這麼來的！