1. 長度收縮效應. L"=L*√(1-v^2/c^2).

分析：設有一剛性杆沿x軸靜止放置在S系中，兩個端點的空間座標分別為x(1)和x(2)，則杆在S系中的長度為 L=x(2)-x(1)，但從與杆有相對運動v的參照系S"中測得的長度L"=x"(2)-x"(1) 則會收縮到“固有長度”的√(1-v^2/c^2)倍，這是因為根據相對論的洛侖茲座標變換，在S"系中測得的杆的兩個端點在同一時刻t"的位置座標x"(1)和x"(2)與S系中的座標x(1)和x(2)有如下關係：

x(1)=[x"(1)+vt"]/√(1-v^2/c^2)，

x(2)=[x"(2)+vt"]/√(1-v^2/c^2)，

於是

L=x(2)-x(1)=[x"(2)+vt"]/√(1-v^2/c^2)-[x"(1)+vt"]/√(1-v^2/c^2)

=[x"(2)-x"(1)]/√(1-v^2/c^2)=L"/√(1-v^2/c^2)，

即 L"=L*√(1-v^2/c^2).

2. 速度變換式. S’系相對S系沿x軸正向以速度v運動，一物體相對S(S")系以速度V(V")運動，則V與V"之間的速度變換關係與v和c有關，如下

分析： 對洛倫茲座標變換式進行求導即可得到，如下

V’(x’)=dx’/dt’=[(dx-vdt)/√(1-v^2/c^2)]/[(dt-vdx/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=[V(x)-v]/[1-vV(x)/c^2],

V’(y’)=dy’/dt’=dy/[(dt-vdx/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=V(y)√(1-v^2/c^2)/[1-vV(x)/c^2],

V’(z’)=dz’/dt’=dz/[(dt-vdx/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=V(z)√(1-v^2/c^2)/[1-vV(x)/c^2];

V(x)=dx/dt=[(dx’+vdt’)/√(1-v^2/c^2)]/[(dt’+vdx’/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=[V’(x’)+v]/[1+vV’(x’)/c^2],

V(y)=dy/dt=dy’/[(dt’+vdx’/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=V(y’)√(1-v^2/c^2)/[1+vV’(x’)/c^2],

V(z)=dz/dt=dz’/[(dt’+vdx’/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=V(z’)√(1-v^2/c^2)/[1+vV’(x’)/c^2].

不用求導的推導如下：

V"(x")=(x2"-x1")/(t2"-t1")

=[(x2-x1-vt2+vt1)/√(1-v^2/c^2)]/[(t2-t1-vx2/c^2+vx1/c^2)/√(1-v^2/c^2)]

=[(x2-x1)/(t2-t1)-v]/[1-v(x2-x1)/(t2-t1)c^2]

=[V(x)-v]/[1-vV(x)/c^2],

V"(y")=(y2"-y1")/(t2"-t1")

=(y2-y1)/[(t2-t1-vx2/c^2+vx1/c^2)/√(1-v^2/c^2)]

=(y2-y1)/(t2-t1)*√(1-v^2/c^2)/[1-v(x2-x1)/(t2-t1)c^2]

=V(y)√(1-v^2/c^2)/[1-vV(x)/c^2],

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