三角形的重心,外心,垂心,內心和旁心稱之為三角形的五心．.三角形五心定律指是三角形重心定律，外心定律，垂心定律，內心定律，旁心定律的總稱，（一），三角重心重心定律：三角形的三條邊的中線交於一點，該點叫作三角形的重心．三線交一可用燕尾定理證明，十分簡單。重心的性質： 1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。 2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。 3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。 4、在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均，即其重心座標為[(X1+X2+X3)/3],[Y1+Y2+Y3/3)]。（二），三角形外心定律：三角形的三條邊的垂直平分線交於一點。該點叫做三角形的外心。即三角形為切圓的圓心．注意到外心到三角形的三個頂點距離相等，結合垂直平分線定義，外心定理其實極好證。計算外心的重心座標應先計算下列臨時變數：d1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心座標：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。（三），三角形垂心定律：三角形的三條高交於一點，該點叫做三角形的垂心。垂心的性質：1.三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。2.垂心外心內心三心共線。3.垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。４此點分每條高線的兩部分乘積定律證明已知：ΔABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE交於點連線CO並延長交AB於點F 求證：CF⊥AB 證明：連線DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四點共圓 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！（四），三角形的內心定律：三角形的三條內角平分線交於一點，該點叫做三角形的內心．即三角形內切圓的圓心。注意到內心到三邊距離相等（為內切圓半徑），內心定理其實極易證。若三邊分別為l1，l2，l3，周長為p，則內心的重心座標為(l1/p,l2/p,l3/p)。直角三角形的內心到邊的距離等於兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。雙曲線上任一支上一點與兩焦點組成的三角形的內心在實軸的射影為對應支的頂點。（五），三角形旁心定律：三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點。三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心叫做旁心性質每個三角形都有三個旁心。 它到三邊的距離相等。如圖，點M就是△ABC的一個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。 附：三角形的中心：只有正三角形才有中心,這時重心,內心.外心,垂心,四心合一.三角形五心歌（重外垂內旁）三角形有五顆心；重外垂內和旁心， 五心性質很重要，認真掌握莫記混． 重 心 三條中線定相交，交點位置真奇巧， 交點命名為“重心”，重心性質要明瞭， 重心分割中線段，數段之比聽分曉； 長短之比二比一，靈活運用掌握好．外 心 三角形有六元素，三個內角有三邊． 作三邊的中垂線，三線相交共一點． 此點定義為外心，用它可作外接圓． 內心外心莫記混，內切外接是關鍵． 垂 心 三角形上作三高，三高必於垂心交． 高線分割三角形，出現直角三對整， 直角三角形有十二，構成六對相似形， 四點共圓圖中有，細心分析可找清. 內 心 三角對應三頂點，角角都有平分線， 三線相交定共點，叫做“內心”有根源； 點至三邊均等距，可作三角形內切圓， 此圓圓心稱“內心”如此定義理當然．
三角形的重心,外心,垂心,內心和旁心稱之為三角形的五心．.三角形五心定律指是三角形重心定律，外心定律，垂心定律，內心定律，旁心定律的總稱，（一），三角重心重心定律：三角形的三條邊的中線交於一點，該點叫作三角形的重心．三線交一可用燕尾定理證明，十分簡單。重心的性質： 1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。 2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。 3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。 4、在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均，即其重心座標為[(X1+X2+X3)/3],[Y1+Y2+Y3/3)]。（二），三角形外心定律：三角形的三條邊的垂直平分線交於一點。該點叫做三角形的外心。即三角形為切圓的圓心．注意到外心到三角形的三個頂點距離相等，結合垂直平分線定義，外心定理其實極好證。計算外心的重心座標應先計算下列臨時變數：d1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心座標：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。（三），三角形垂心定律：三角形的三條高交於一點，該點叫做三角形的垂心。垂心的性質：1.三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。2.垂心外心內心三心共線。3.垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。４此點分每條高線的兩部分乘積定律證明已知：ΔABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE交於點連線CO並延長交AB於點F 求證：CF⊥AB 證明：連線DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四點共圓 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！（四），三角形的內心定律：三角形的三條內角平分線交於一點，該點叫做三角形的內心．即三角形內切圓的圓心。注意到內心到三邊距離相等（為內切圓半徑），內心定理其實極易證。若三邊分別為l1，l2，l3，周長為p，則內心的重心座標為(l1/p,l2/p,l3/p)。直角三角形的內心到邊的距離等於兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。雙曲線上任一支上一點與兩焦點組成的三角形的內心在實軸的射影為對應支的頂點。（五），三角形旁心定律：三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點。三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心叫做旁心性質每個三角形都有三個旁心。 它到三邊的距離相等。如圖，點M就是△ABC的一個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。 附：三角形的中心：只有正三角形才有中心,這時重心,內心.外心,垂心,四心合一.三角形五心歌（重外垂內旁）三角形有五顆心；重外垂內和旁心， 五心性質很重要，認真掌握莫記混． 重 心 三條中線定相交，交點位置真奇巧， 交點命名為“重心”，重心性質要明瞭， 重心分割中線段，數段之比聽分曉； 長短之比二比一，靈活運用掌握好．外 心 三角形有六元素，三個內角有三邊． 作三邊的中垂線，三線相交共一點． 此點定義為外心，用它可作外接圓． 內心外心莫記混，內切外接是關鍵． 垂 心 三角形上作三高，三高必於垂心交． 高線分割三角形，出現直角三對整， 直角三角形有十二，構成六對相似形， 四點共圓圖中有，細心分析可找清. 內 心 三角對應三頂點，角角都有平分線， 三線相交定共點，叫做“內心”有根源； 點至三邊均等距，可作三角形內切圓， 此圓圓心稱“內心”如此定義理當然．