測度理論是實變函式論的基礎。

所謂測度，通俗的講就是測量幾何區域的尺度。 我們知道直線上的閉區間的測度就是通常的線段長度； 平面上一個閉圓盤 的測度就是它的面積。

對於更一般的集合，我們能不能定義測度呢？ 比如直線上所有有理數構成的集合，它的測度怎麼衡量呢？

一個簡單的辦法， 就是先在每個有理點上找一個開區間覆蓋它，就好比給它帶個“帽子”。因為有理數集是可列集（就是可以排像自然一樣排好隊，一個個數出來，也叫可數集，見集合論），所以我們可以讓第n個有理數上蓋的開區間長度是第一個有理數（比方是1）上蓋的開區間長度的2^n分之一。 這樣所有那些開區間的長度之和是個有限值（就是1上的開區間長度的2倍）。

現在我們讓1上的開區間逐漸縮小趨向於一個點，那麼所有區間的總長度也相應縮小，趨向於長度0。 這樣我們就說有理數集的測度是0。 用上面這種方法定義的測度也叫外測度。

一個幾何區域有了測度，我們就可以定義上面的函式的積分，這是推廣的黎曼積分。

比如實數上的狄利克雷函式D(x)=1(如果x是有理數)，0（如果x是無理數）。 如果按照通常的理解，我們發現狄利克雷函式在整個數軸上的定積分不存在；但是按照上面講的有理數的測度，我們就可以求出它的定積分是0。