證明：

設λ1，...，λs為A的所有不同的實特徵根，且可知A與某一Jordan標準型矩陣J相似，

即存在可逆實矩陣P使得P^(-1)AP=J，其中，

J1 λi 1

J2 λi

J= ............... Ji=................1

Jn 為Jordan標準型，而 λi ，i=1,2,...,s

由於λi都為實數，所以J為上三角形實矩陣。

又由QR分解原理，矩陣P可以分解為TS，其中T為正交矩陣，S為上三角形矩陣，則有

P^(-1)AP=S^(-1)T^(-1)ATS=J，即T^(-1)AT=SJS^(-1)

由於S，J，S^(-1)均為上三角形矩陣，故結論成立。

證畢。