設A、B、C三點共線,O是平面內任一點.因為A、B、C共線,所以存在非零實數k,使AB=kAC即 OB-OA=k(OC-OA)所以 OB=kOC+(1-k)OA[注：兩個係數和 k+1-k=1]反之,若存在實數x,y 滿足 x+y=1,且OA=xOB+yOC則 OA=xOB+(1-x)OCOA-OC=x(OB-OC)所以 CA=xCB因此,向量CA與CB共線,又由於 CA、CB有公共點C所以,A、B、C三點共線
擴充套件資料：
三點共線證明方法：
方法一：取兩點確立一條直線，計算該直線的解析式 .代入第三點座標 看是否滿足該解析式 （直線與方程）.
方法二：設三點為A、B、C .利用向量證明：λAB=AC（其中λ為非零實數）.
方法三：利用點差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三點共線.
方法四:用梅涅勞斯定理.
方法五：利用幾何中的公理“如果兩個不重合的平面有一個公共點，那麼它們有且只有一條過該點的公共直線”.可知：如果三點同屬於兩個相交的平面則三點共線 [3] 。
方法六：運用公（定）理 “過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行（垂直）”.其實就是同一法.
方法七：證明其夾角為180°.
方法八：設A B C ，證明△ABC面積為0.
方法九：帕普斯定理.
方法十：利用座標證明。即證明x1y2=x2y1.
方法十一：位似圖形性質.
方法十二：向量法，即向量PB=λ向量PA+μ向量PC，且λ+μ=1，則ABC三點共線
方法十三：張角定理
設A、B、C三點共線,O是平面內任一點.因為A、B、C共線,所以存在非零實數k,使AB=kAC即 OB-OA=k(OC-OA)所以 OB=kOC+(1-k)OA[注：兩個係數和 k+1-k=1]反之,若存在實數x,y 滿足 x+y=1,且OA=xOB+yOC則 OA=xOB+(1-x)OCOA-OC=x(OB-OC)所以 CA=xCB因此,向量CA與CB共線,又由於 CA、CB有公共點C所以,A、B、C三點共線
擴充套件資料：
三點共線證明方法：
方法一：取兩點確立一條直線，計算該直線的解析式 .代入第三點座標 看是否滿足該解析式 （直線與方程）.
方法二：設三點為A、B、C .利用向量證明：λAB=AC（其中λ為非零實數）.
方法三：利用點差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三點共線.
方法四:用梅涅勞斯定理.
方法五：利用幾何中的公理“如果兩個不重合的平面有一個公共點，那麼它們有且只有一條過該點的公共直線”.可知：如果三點同屬於兩個相交的平面則三點共線 [3] 。
方法六：運用公（定）理 “過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行（垂直）”.其實就是同一法.
方法七：證明其夾角為180°.
方法八：設A B C ，證明△ABC面積為0.
方法九：帕普斯定理.
方法十：利用座標證明。即證明x1y2=x2y1.
方法十一：位似圖形性質.
方法十二：向量法，即向量PB=λ向量PA+μ向量PC，且λ+μ=1，則ABC三點共線
方法十三：張角定理