3維空間中的3個向量a,b,c可以構成一個頂點在座標系原點的四面體的3個稜。
這個四面體的體積可以表示成 |(a X b)c|, 其中，a X b 表示3維向量之間的叉積運算，運算的結果是一個和向量a,b都垂直的3維向量。
(a X b)c表示a,b的叉積[向量]和向量c之間的點積運算。2個向量之間的點積運算的結果是一個標量。| |是對一個標量取絕對值的運算。
顯然，3個3維向量共面時，和它們對應的四面體的體積應該為0。
因此，
(a X b)c = 0
可以作為3個3維向量a,b,c共面的1個判定條件。
實際上，設3階矩陣A的3個行分別為a,b,c。
則
A的行列式 = (a X b)c
所以，一般用矩陣A的行列式是否為零來判斷3個向量a,b,c是否共面。
對於N維(N>3)空間中的向量來說，向量共面一般描述為向量屬於同一個低維的子空間。
由於N維空間的低維子空間的維數可以是1到N-1之間的任何一個數。所以，N維空間中的所謂超平面就不止1個了。
這個時候，要描述向量共一個超平面，或者說向量屬於同一個低維的子空間，就可以利用樓上說的方法。
則，這個子空間中的任何向量，都可以表示成子空間的基向量的線性組合。這個子空間的基向量，由n個線性無關的N維向量構成。
所以，判斷m個N維向量是否共面，或者是否屬於同一個n維子空間時。
只要判斷這m個N維向量是否線性相關就可以了。
如果線性相關，就一定存在一個n維子空間(1
否則，這m個N維向量一定不共面。
[因此，任何N+k個（k>0）N維向量一定共面。]
3維空間中的3個向量a,b,c可以構成一個頂點在座標系原點的四面體的3個稜。
這個四面體的體積可以表示成 |(a X b)c|, 其中，a X b 表示3維向量之間的叉積運算，運算的結果是一個和向量a,b都垂直的3維向量。
(a X b)c表示a,b的叉積[向量]和向量c之間的點積運算。2個向量之間的點積運算的結果是一個標量。| |是對一個標量取絕對值的運算。
顯然，3個3維向量共面時，和它們對應的四面體的體積應該為0。
因此，
(a X b)c = 0
可以作為3個3維向量a,b,c共面的1個判定條件。
實際上，設3階矩陣A的3個行分別為a,b,c。
則
A的行列式 = (a X b)c
所以，一般用矩陣A的行列式是否為零來判斷3個向量a,b,c是否共面。
對於N維(N>3)空間中的向量來說，向量共面一般描述為向量屬於同一個低維的子空間。
由於N維空間的低維子空間的維數可以是1到N-1之間的任何一個數。所以，N維空間中的所謂超平面就不止1個了。
這個時候，要描述向量共一個超平面，或者說向量屬於同一個低維的子空間，就可以利用樓上說的方法。
則，這個子空間中的任何向量，都可以表示成子空間的基向量的線性組合。這個子空間的基向量，由n個線性無關的N維向量構成。
所以，判斷m個N維向量是否共面，或者是否屬於同一個n維子空間時。
只要判斷這m個N維向量是否線性相關就可以了。
如果線性相關，就一定存在一個n維子空間(1
否則，這m個N維向量一定不共面。
[因此，任何N+k個（k>0）N維向量一定共面。]