線性代數研究的主題就是線性空間和線性對映。線性變換是一種特殊的線性對映，線性空間M到M上的線性對映稱為線性變換。 那麼線性變換跟矩陣有什麼關係呢？在指定基的情況下，定義在n維線性空間M上的線性變換與n階方陣存在一一對應關係，在這種意義下，線性變換就是一個矩陣，矩陣就是一個線性變換。 例如，單位矩陣對應的線性變換為恆等變換，零矩陣對應的線性對映為零變換。對角線元素為k,其餘為0的矩陣對應的是數乘變換。 一個線性對映是不是對應唯一的矩陣呢？這跟線性空間的基的選擇有關。我們已經知道，在不同的基下，線性變換有不同的矩陣，這些矩陣之間是相似關係。而一個空間有無窮個基，在這個意義下，一個線性變換可以有無窮個矩陣，這些矩陣之間是相似的。相似矩陣之間有許多相似不變數，例如行列式，秩，跡，特徵多項式都不變，所以一個線性對映可以有秩，可以有行列式，可以有跡等概念，這些性質不隨線性空間的基的改變而改變，是屬於一個線性對映固有的性質，但是矩陣不是，對一個線性變換來說，基變了，矩陣也就變了。 既然一個線性變換在不同的基下有不同的矩陣，所以需要研究選擇什麼基下它具有最簡的矩陣，對角矩陣是最簡單的，所以要研究一個線性變換可對角化的充分必要條件。 再引申一下，是不是所有線性變換都可以對角化呢？(對應一個對角矩陣)答案是不一定。但是可以肯定的是，在複數域上，線性變換一定有約爾當標準型(約爾當矩陣)
線性代數研究的主題就是線性空間和線性對映。線性變換是一種特殊的線性對映，線性空間M到M上的線性對映稱為線性變換。 那麼線性變換跟矩陣有什麼關係呢？在指定基的情況下，定義在n維線性空間M上的線性變換與n階方陣存在一一對應關係，在這種意義下，線性變換就是一個矩陣，矩陣就是一個線性變換。 例如，單位矩陣對應的線性變換為恆等變換，零矩陣對應的線性對映為零變換。對角線元素為k,其餘為0的矩陣對應的是數乘變換。 一個線性對映是不是對應唯一的矩陣呢？這跟線性空間的基的選擇有關。我們已經知道，在不同的基下，線性變換有不同的矩陣，這些矩陣之間是相似關係。而一個空間有無窮個基，在這個意義下，一個線性變換可以有無窮個矩陣，這些矩陣之間是相似的。相似矩陣之間有許多相似不變數，例如行列式，秩，跡，特徵多項式都不變，所以一個線性對映可以有秩，可以有行列式，可以有跡等概念，這些性質不隨線性空間的基的改變而改變，是屬於一個線性對映固有的性質，但是矩陣不是，對一個線性變換來說，基變了，矩陣也就變了。 既然一個線性變換在不同的基下有不同的矩陣，所以需要研究選擇什麼基下它具有最簡的矩陣，對角矩陣是最簡單的，所以要研究一個線性變換可對角化的充分必要條件。 再引申一下，是不是所有線性變換都可以對角化呢？(對應一個對角矩陣)答案是不一定。但是可以肯定的是，在複數域上，線性變換一定有約爾當標準型(約爾當矩陣)