f(x)=lnx

於是，f"(x)=1/x

f"(x)

=lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x)] / △x

=lim [ln(x+△x)-lnx] / △x

=lim ln(1+△x/x)^(1/△x)

=lim (1/x)*ln(1+△x/x)^(x/△x)

=(1/x)*ln[ lim (1+△x/x)^(x/△x) ]

利用重要的極限：lim(x→0) (1+1/x)^x=e

=(1/x)*lne

=1/x

首先

ln(x+△x)-lnx

=ln[(x+△x)/x]

=ln(1+△x/x)

這個是對數減法的公式

然後

ln(1+△x/x) / △x

=ln(1+△x/x) / (x△x/x)

=(1/x)*ln(1+△x/x) / (△x/x)

=(1/x)*ln(1+△x/x)^(1/△x/x)

=(1/x)*ln(1+△x/x)^(x/△x)

這是對數與常數的乘法的公式：b*lna=ln(a^b)