複合函式的求導法則證明：例如：要求f(g(x))對x的導數，且f(g(x))和g(x)均可導。首先，根據定義：當h->0時，g"(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h，所以，當h->0時，lim(g(x+h)-g(x))/h-g"(x)->0設v=(g(x+h)-g(x))/h-g"(x)就有：g(x+h)=g(x)+(g"(x)+v)h同理：f(y+k)=f(y)+(f"(y)+u)k所以，f(g(x)+[g"(x) + v]h)=f(g(x))+[f"(g(x))+v]*[g"(x)+v]h （其實就是y=g(x),k=[g"(x) + v]h）所以，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f"(g(x))+u]·[g"(x)+v]h−f(g(x)))/h=[f"(g(x))+u]·[g"(x)+v]當h->0時，u和v都->0，這個容易看。所以當h->0時，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f"(g(x))+0]·[g"(x)+0]=f"(g(x))·g"(x)然後f"(g(x))=f"(g(x))·g"(x)證畢不是任何兩個函式都可以複合成一個複合函式，只有當Mx∩Du≠Ø時，二者才可以構成一個複合函式。