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  • 1 # 使用者1750889705834

    這分很多種情況了。

    首先,如果這兩個雙曲線的焦點都在x軸上,或者一個在x軸一個在y軸上,是沒有交點的。我們若把所有交點在座標軸上,漸近線斜率與半實軸長為a,半虛軸長為b的雙曲線相同的所有雙曲線的集合看做一個曲線系,這個曲線系的方程就可以用x^2/a^2-y^2/b^2=k表示,若不承認兩條相交直線也是雙曲線的話則k取非零實數。顯然這些雙曲線不會有交點的。

    但若允許另外一個雙曲線平移的話(旋轉會改變漸近線斜率),就有可能存在交點了。

    從幾何上直觀想象,可以大概地想象出:可以不存在交點,也許可以只有一個,最多隻能有兩個。

    從代數的方法來證明的話,這歸結為方程組

    解的個數的問題。不妨假設m,n均為非負數,即另一個雙曲線向右上方向平移。

    將第二個方程展開,得到

    展開後的2式在代入1式後變成了一個直線方程,於是問題歸結為方程組

    解的個數。

    這是直線與圓錐曲線的交點問題,而這個問題我們已經有結論:直線與圓錐曲線至多隻有兩個交點。也就是說這個方程組至多隻有兩組解。這也就說明了這兩條雙曲線至多隻有兩個交點。

    所以目前為止的結論是:兩個漸近線斜率相同的雙曲線若存在交點,至多隻有兩個,且存在無交點的情況。

    但是還存在一個問題:這兩條雙曲線會不會出現恰好有兩個交點或者一個交點的情況呢?這就需要對上面那個方程組更進一步地研究了。

    下面對其進行研究:

    方程組的解的個數取決於delta的正負情況,而delta的正負情況取決於中括號裡的一長串式子的正負情況。這是一個一元二次方程根的分佈問題。

    7式的實根個數即為兩雙曲線的交點個數。

    至此,我們可以下結論:兩漸近線斜率相同的雙曲線,或沒有交點,或只有一個交點,或有兩個交點。

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