這分很多種情況了。
首先，如果這兩個雙曲線的焦點都在x軸上，或者一個在x軸一個在y軸上，是沒有交點的。我們若把所有交點在座標軸上，漸近線斜率與半實軸長為a，半虛軸長為b的雙曲線相同的所有雙曲線的集合看做一個曲線系，這個曲線系的方程就可以用x^2/a^2-y^2/b^2=k表示，若不承認兩條相交直線也是雙曲線的話則k取非零實數。顯然這些雙曲線不會有交點的。
但若允許另外一個雙曲線平移的話（旋轉會改變漸近線斜率），就有可能存在交點了。
從幾何上直觀想象，可以大概地想象出：可以不存在交點，也許可以只有一個，最多隻能有兩個。
從代數的方法來證明的話，這歸結為方程組
解的個數的問題。不妨假設m,n均為非負數，即另一個雙曲線向右上方向平移。
將第二個方程展開，得到
展開後的2式在代入1式後變成了一個直線方程，於是問題歸結為方程組
解的個數。
這是直線與圓錐曲線的交點問題，而這個問題我們已經有結論：直線與圓錐曲線至多隻有兩個交點。也就是說這個方程組至多隻有兩組解。這也就說明了這兩條雙曲線至多隻有兩個交點。
所以目前為止的結論是：兩個漸近線斜率相同的雙曲線若存在交點，至多隻有兩個，且存在無交點的情況。
但是還存在一個問題：這兩條雙曲線會不會出現恰好有兩個交點或者一個交點的情況呢？這就需要對上面那個方程組更進一步地研究了。
下面對其進行研究：
方程組的解的個數取決於delta的正負情況，而delta的正負情況取決於中括號裡的一長串式子的正負情況。這是一個一元二次方程根的分佈問題。
7式的實根個數即為兩雙曲線的交點個數。
至此，我們可以下結論：兩漸近線斜率相同的雙曲線，或沒有交點，或只有一個交點，或有兩個交點。
這分很多種情況了。
首先，如果這兩個雙曲線的焦點都在x軸上，或者一個在x軸一個在y軸上，是沒有交點的。我們若把所有交點在座標軸上，漸近線斜率與半實軸長為a，半虛軸長為b的雙曲線相同的所有雙曲線的集合看做一個曲線系，這個曲線系的方程就可以用x^2/a^2-y^2/b^2=k表示，若不承認兩條相交直線也是雙曲線的話則k取非零實數。顯然這些雙曲線不會有交點的。
但若允許另外一個雙曲線平移的話（旋轉會改變漸近線斜率），就有可能存在交點了。
從幾何上直觀想象，可以大概地想象出：可以不存在交點，也許可以只有一個，最多隻能有兩個。
從代數的方法來證明的話，這歸結為方程組
解的個數的問題。不妨假設m,n均為非負數，即另一個雙曲線向右上方向平移。
將第二個方程展開，得到
展開後的2式在代入1式後變成了一個直線方程，於是問題歸結為方程組
解的個數。
這是直線與圓錐曲線的交點問題，而這個問題我們已經有結論：直線與圓錐曲線至多隻有兩個交點。也就是說這個方程組至多隻有兩組解。這也就說明了這兩條雙曲線至多隻有兩個交點。
所以目前為止的結論是：兩個漸近線斜率相同的雙曲線若存在交點，至多隻有兩個，且存在無交點的情況。
但是還存在一個問題：這兩條雙曲線會不會出現恰好有兩個交點或者一個交點的情況呢？這就需要對上面那個方程組更進一步地研究了。
下面對其進行研究：
方程組的解的個數取決於delta的正負情況，而delta的正負情況取決於中括號裡的一長串式子的正負情況。這是一個一元二次方程根的分佈問題。
7式的實根個數即為兩雙曲線的交點個數。
至此，我們可以下結論：兩漸近線斜率相同的雙曲線，或沒有交點，或只有一個交點，或有兩個交點。