實際的雪花，周長是有限長的；但是在數學中的雪花圖形，周長就是無限的，面積卻是有限值，叫做科赫曲線。雪花在不同的環境條件下，會形成不同的雪花圖形，比如下圖中的幾個：在數學當中，這些圖形都有一個共同點，就是“面積有限周長無限”，這是一個非常有趣的結論，我們就拿最簡單的一個雪花圖形來做定量分析，如下圖：這就是一個最簡單的雪花圖形（科赫曲線）：（1）最開始是一個等邊三角形，假設面積為S0，周長為L0，邊長為a0，邊數m0=3；（2）然後在等邊三角形的三條邊上，分別長出一個小一點的等邊三角形，小三角形的邊長是原來三角形的1/3，既a1=（1/3）*a0；（3）此後，每增加一步，都在上一步增加的三角形上，長出前三角形邊長1/3的等邊三角形，直到無限；然後我們來計算，最終圖形的周長極限和麵積極限。周長極限分析：每增加一步，都在前面圖形的每一條邊上長出一個三角形，於是邊長an，變為a（n+1）=(1/3)an，但是邊數m（n＋1）增加4倍，於是每增加一步，總邊長就增加4/3倍，得到雪花圖形周長公式為：Ln=（4/3）^n*L0;當n趨向於無窮時，該公式顯然是發散的，所以理論上這個雪花圖形的周長極限就是無限長。面積極限分析：根據增加三角形的邊長規律a（n+1）=(1/3)an，每次增加三角形的單個面積，是前一步單個三角形面積的1/9，結合邊數變化規律，很容易得到：Sn=S(n-1)+3*4^(n-1)(1/9)^n*S0;利用逐級遞推迭代的方法，可以得到當n趨向於無窮時，其面積等於：S(∞)=2√3*an^n/5=8/5*S0;也就是說，以上舉例的雪花圖形，面積極限為最初三角形的8/5倍，是一個有限的值；因為每增加一步，面積都在增加，所以任何步驟下得到的雪花圖形，面積都是有限值。於是，我們得到了結論——“雪花圖形是一個面積有限但是周長無限的圖形”。而且每一步下的雪花圖形，始終在最初三角形的外接圓內，一個有限面積圖形，包含著一個周長無限的圖形。這樣的結論在數學中其實很常見，比如反比例函式y＝1/x，其影象在[1，∞）與x軸圍成的面積就是有限的。在實際當中，雪花本身的周長當然是有限的，因為受物質連續性和外部條件的影響，雪花的邊長不可能無限生長下去，無限周長的圖形也只存在於數學當中。
實際的雪花，周長是有限長的；但是在數學中的雪花圖形，周長就是無限的，面積卻是有限值，叫做科赫曲線。雪花在不同的環境條件下，會形成不同的雪花圖形，比如下圖中的幾個：在數學當中，這些圖形都有一個共同點，就是“面積有限周長無限”，這是一個非常有趣的結論，我們就拿最簡單的一個雪花圖形來做定量分析，如下圖：這就是一個最簡單的雪花圖形（科赫曲線）：（1）最開始是一個等邊三角形，假設面積為S0，周長為L0，邊長為a0，邊數m0=3；（2）然後在等邊三角形的三條邊上，分別長出一個小一點的等邊三角形，小三角形的邊長是原來三角形的1/3，既a1=（1/3）*a0；（3）此後，每增加一步，都在上一步增加的三角形上，長出前三角形邊長1/3的等邊三角形，直到無限；然後我們來計算，最終圖形的周長極限和麵積極限。周長極限分析：每增加一步，都在前面圖形的每一條邊上長出一個三角形，於是邊長an，變為a（n+1）=(1/3)an，但是邊數m（n＋1）增加4倍，於是每增加一步，總邊長就增加4/3倍，得到雪花圖形周長公式為：Ln=（4/3）^n*L0;當n趨向於無窮時，該公式顯然是發散的，所以理論上這個雪花圖形的周長極限就是無限長。面積極限分析：根據增加三角形的邊長規律a（n+1）=(1/3)an，每次增加三角形的單個面積，是前一步單個三角形面積的1/9，結合邊數變化規律，很容易得到：Sn=S(n-1)+3*4^(n-1)(1/9)^n*S0;利用逐級遞推迭代的方法，可以得到當n趨向於無窮時，其面積等於：S(∞)=2√3*an^n/5=8/5*S0;也就是說，以上舉例的雪花圖形，面積極限為最初三角形的8/5倍，是一個有限的值；因為每增加一步，面積都在增加，所以任何步驟下得到的雪花圖形，面積都是有限值。於是，我們得到了結論——“雪花圖形是一個面積有限但是周長無限的圖形”。而且每一步下的雪花圖形，始終在最初三角形的外接圓內，一個有限面積圖形，包含著一個周長無限的圖形。這樣的結論在數學中其實很常見，比如反比例函式y＝1/x，其影象在[1，∞）與x軸圍成的面積就是有限的。在實際當中，雪花本身的周長當然是有限的，因為受物質連續性和外部條件的影響，雪花的邊長不可能無限生長下去，無限周長的圖形也只存在於數學當中。