首先，必須認識到以下事實：

對於 區域性小范疇 C 而言，其中每個 Hom-集 都是 集合，故都是 範疇 Set 的物件。選定 C 中的某物件 G 之後，

對於 C 的任意 物件 A 都和 Set 中的 物件 Hom(A, G) 對應，

對於 C 任意 態射 f: A → A" 則存在 Set 中 態射 f* : Hom(A", G) → Hom(A, G), g ↦ g ∘ f 與之對應，

於是，就存在 Cᵒᵖ → Set 的函子，稱為 逆變 Hom-函子，記為 C(-, G)。

然後，回顧同調的定義：

鏈復形 C = {C_q, ∂_q}，由一串 稱為 q 維 鏈群 的 Abel 群 和 一串 稱為 q 維 邊沿運算元 的 群同態 ∂_q : C_q → C_{q-1} 組成：

並且滿足 ∂_q ∘ ∂_{q+1} = 0。

進而，仿照 上面 的 逆變 Hom-函子，在給定 Abel 群 G 後（常常設為 整數群 Z），可以 定義 q 維 鏈群 為 C^q = Hom(C_q, G)（注：Hom-集的態射在加法下封閉，這使得 Hom-集 C^q 依然是 Abel群），q 維 邊沿運算元 ∂^q : C^q → C^{q+1}, g_q ↦ g_q ∘ ∂_{q+1}（注：因 ∂^q(g_q + h_q) = (g_q + h_q) ∘ ∂_{q+1} = g_q ∘ ∂_{q+1} + h_q ∘ ∂_{q+1} = ∂^q(g_q ) + ∂^q(h_q)，故 ∂^q 是群同態），見下圖：

於是得到另一個方向相反的 鏈復形 C* = {C^q, ∂^q}：

並且有：

即，

稱 C* 為 上鍊復形。

最後，由 鏈復形 C = {C_q, ∂_q} 自然得到 同調 :

相應地，由 上鍊復形 C* = {C^q, ∂^q} 自然就得到 上同調 :

由此可見， 同調和上同調的主要區別就是： 一個的邊緣運算元將維度降低1維，一個的邊緣運算元將維度升高1維。

同調和上同調互為對偶，類似於 線性空間與其對偶空間。

（由於本人數學水平有限，此答案僅供參考！）