數列極限四則運演算法則的證明
設limAn=A,limBn=B,則有
法則1:lim(An+Bn)=A+B
法則2:lim(An-Bn)=A-B
法則3:lim(An·Bn)=AB
法則4:lim(An/Bn)=A/B.
法則5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整數)
(n→+∞的符號就先省略了,反正都知道怎麼回事.)
首先必須知道極限的定義:
如果數列{Xn}和常數A有以下關係:對於ε＞0(不論它多麼小),總存在正數N,使得對於滿足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,
則稱常數A是數列{Xn}的極限,記作limXn=A.
根據這個定義,首先容易證明: 引理1:limC=C. (即常數列的極限等於其本身)
∵limAn=A, ∴對任意正數ε,存在正整數N₁,使n＞N₁時恆有|An-A|＜ε.①(極限定義)
同理對同一正數ε,存在正整數N₂,使n＞N₂時恆有|Bn-B|＜ε.②
設N=max{N₁,N₂},由上可知當n＞N時①②兩式全都成立.
此時|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.
由於ε是任意正數,所以2ε也是任意正數.
即:對任意正數2ε,存在正整數N,使n＞N時恆有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.
由極限定義可知,lim(An+Bn)=A+B.
數列極限四則運演算法則的證明
設limAn=A,limBn=B,則有
法則1:lim(An+Bn)=A+B
法則2:lim(An-Bn)=A-B
法則3:lim(An·Bn)=AB
法則4:lim(An/Bn)=A/B.
法則5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整數)
(n→+∞的符號就先省略了,反正都知道怎麼回事.)
首先必須知道極限的定義:
如果數列{Xn}和常數A有以下關係:對於ε＞0(不論它多麼小),總存在正數N,使得對於滿足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,
則稱常數A是數列{Xn}的極限,記作limXn=A.
根據這個定義,首先容易證明: 引理1:limC=C. (即常數列的極限等於其本身)
∵limAn=A, ∴對任意正數ε,存在正整數N₁,使n＞N₁時恆有|An-A|＜ε.①(極限定義)
同理對同一正數ε,存在正整數N₂,使n＞N₂時恆有|Bn-B|＜ε.②
設N=max{N₁,N₂},由上可知當n＞N時①②兩式全都成立.
此時|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.
由於ε是任意正數,所以2ε也是任意正數.
即:對任意正數2ε,存在正整數N,使n＞N時恆有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.
由極限定義可知,lim(An+Bn)=A+B.