參考yahoo知識堂：
sqrt表示算數平方根
設兩個數分別為x0,x1.
則調和平均=2/(1/x0+1/x1)=2x0x1/(x0+x1)
幾何平均=sqrt(x0x1)
算數平均=(x0+x1)/2
平方平均=sqrt[(x0^2+x1^2)/2]
設一個直角三角形的高h,兩條直角邊在斜邊上投影長度分別為x0,x1,由相似得到h=sqrt(x0x1),直角三角形外接圓半徑=(x0+x1)/2
因為外接圓半徑和高只可能是一個直角三角形的斜邊和直角邊或者二者重合(以斜邊中點為圓心做過兩兩條直角邊交點的半徑即可證明)
所以sqrt(x0x1)0,x1>0)
即的可證明兩正數算術平均>=兩正數幾何平均
又因為sqrt(x0x1)0,x1>0)==>
x0x1/sqrt(x0x1)>=2x0x1/(x0+x1) (x0>0,x1>0) (兩端同時被x0x1除)
==>sqrt(x0x1)>=2x0x1/(x0+x1) (x0>0,x1>0)
所以兩正數幾何平均>=兩正數調和平均
(sqrt(x0))^2+(sqrt(x1))^2>=2sqrt(x0x1)
==>2[(sqrt(x0))^2+(sqrt(x1))^2]>=(sqrt(x0)+sqrt(x1))^2
(兩端同時加(sqrt(x0))^2+(sqrt(x1))^2)
==>sqrt(((sqrt(x0))^2+(sqrt(x1))^2)/2)>=(sqrt(x0)+sqrt(x1))/2
所以兩正數平方平均>=兩正數算術平均
參考yahoo知識堂：
sqrt表示算數平方根
設兩個數分別為x0,x1.
則調和平均=2/(1/x0+1/x1)=2x0x1/(x0+x1)
幾何平均=sqrt(x0x1)
算數平均=(x0+x1)/2
平方平均=sqrt[(x0^2+x1^2)/2]
設一個直角三角形的高h,兩條直角邊在斜邊上投影長度分別為x0,x1,由相似得到h=sqrt(x0x1),直角三角形外接圓半徑=(x0+x1)/2
因為外接圓半徑和高只可能是一個直角三角形的斜邊和直角邊或者二者重合(以斜邊中點為圓心做過兩兩條直角邊交點的半徑即可證明)
所以sqrt(x0x1)0,x1>0)
即的可證明兩正數算術平均>=兩正數幾何平均
又因為sqrt(x0x1)0,x1>0)==>
x0x1/sqrt(x0x1)>=2x0x1/(x0+x1) (x0>0,x1>0) (兩端同時被x0x1除)
==>sqrt(x0x1)>=2x0x1/(x0+x1) (x0>0,x1>0)
所以兩正數幾何平均>=兩正數調和平均
又因為sqrt(x0x1)0,x1>0)==>
(sqrt(x0))^2+(sqrt(x1))^2>=2sqrt(x0x1)
==>2[(sqrt(x0))^2+(sqrt(x1))^2]>=(sqrt(x0)+sqrt(x1))^2
(兩端同時加(sqrt(x0))^2+(sqrt(x1))^2)
==>sqrt(((sqrt(x0))^2+(sqrt(x1))^2)/2)>=(sqrt(x0)+sqrt(x1))/2
所以兩正數平方平均>=兩正數算術平均