證明方法如下：
一、即當p≤1p≤1時，有1np≥1n1np≥1n，調和級數是發散的，按照比較審斂法：
若vnvn是發散的，在n>N,總有un≥vnun≥vn,則unun也是發散的。
調和級數1n1n是發散的，那麼p級數也是發散的。
二、當p>1時，證明的思路大概就是對於每一個整數，取一個鄰域區間，使鄰域區間間x∈[k,k−1]x∈[k,k−1]使得某個函式在[k,k−1][k,k−1]鄰域區間內的積分小於1xp1xp在這個鄰域區間的積分。然後目的當然是透過積分求指數原函式解決問題。
這個證明的比較函式取的很巧妙，令k−1≤x≤kk−1≤x≤k,那麼1kp≤1xp1kp≤1xp.
利用比較審斂法的感覺，應該找一個比p級數的一般式大的收斂數列，證明p級數收斂。這個就有點反套路了。
1kp=∫kk−11kpdx(這裡是對x積分而不是k)≤∫kk−11xp1kp=∫k−1k1kpdx(這裡是對x積分而不是k)≤∫k−1k1xp
其中（k=2,3....）（k=2,3....）
sn=1+∑k=2n1kp（p級數）≤1+∑k=2n∫k−1k1xp=1+∫n11xpdxsn=1+∑k=2n1kp（p級數）≤1+∑k=2n∫kk−11xp=1+∫1n1xpdx。
這裡利用積分割槽間的可加性:
∫D1f(x)dx+∫D2f(x)dx=∫D1+D2f(x)dx。
擴充套件資料：
1. 級數
將數列 unun 的項 u1,u2,…,un,…u1,u2,…,un,…，依次用加號連線起來的函式。數項級數的簡稱。如： u1+u2+…+un+…u1+u2+…+un+… ，簡寫為 ∑un∑un ， unun 稱為級數的通項，記 Sn=∑unSn=∑un 稱之為級數的部分和。
如果當 n→∞n→∞ 時 ，數列有極限，則說級數收斂，並以 SS 為其和，記為 ∑un=S∑un=S ；否則就說級數發散。
2. 簡單證明
基本手段-放縮
級數 n+1−−−−−√−n−√n+1−n 的斂散性：
∑n+1−−−−−√−n−−√=∑1n+1−−−−−√+n−−√>∑12n+1−−−−−√>∑12(n+1)，
因此其是發散的。
證明方法如下：
一、即當p≤1p≤1時，有1np≥1n1np≥1n，調和級數是發散的，按照比較審斂法：
若vnvn是發散的，在n>N,總有un≥vnun≥vn,則unun也是發散的。
調和級數1n1n是發散的，那麼p級數也是發散的。
二、當p>1時，證明的思路大概就是對於每一個整數，取一個鄰域區間，使鄰域區間間x∈[k,k−1]x∈[k,k−1]使得某個函式在[k,k−1][k,k−1]鄰域區間內的積分小於1xp1xp在這個鄰域區間的積分。然後目的當然是透過積分求指數原函式解決問題。
這個證明的比較函式取的很巧妙，令k−1≤x≤kk−1≤x≤k,那麼1kp≤1xp1kp≤1xp.
利用比較審斂法的感覺，應該找一個比p級數的一般式大的收斂數列，證明p級數收斂。這個就有點反套路了。
1kp=∫kk−11kpdx(這裡是對x積分而不是k)≤∫kk−11xp1kp=∫k−1k1kpdx(這裡是對x積分而不是k)≤∫k−1k1xp
其中（k=2,3....）（k=2,3....）
sn=1+∑k=2n1kp（p級數）≤1+∑k=2n∫k−1k1xp=1+∫n11xpdxsn=1+∑k=2n1kp（p級數）≤1+∑k=2n∫kk−11xp=1+∫1n1xpdx。
這裡利用積分割槽間的可加性:
∫D1f(x)dx+∫D2f(x)dx=∫D1+D2f(x)dx。
擴充套件資料：
1. 級數
將數列 unun 的項 u1,u2,…,un,…u1,u2,…,un,…，依次用加號連線起來的函式。數項級數的簡稱。如： u1+u2+…+un+…u1+u2+…+un+… ，簡寫為 ∑un∑un ， unun 稱為級數的通項，記 Sn=∑unSn=∑un 稱之為級數的部分和。
如果當 n→∞n→∞ 時 ，數列有極限，則說級數收斂，並以 SS 為其和，記為 ∑un=S∑un=S ；否則就說級數發散。
2. 簡單證明
基本手段-放縮
級數 n+1−−−−−√−n−√n+1−n 的斂散性：
∑n+1−−−−−√−n−−√=∑1n+1−−−−−√+n−−√>∑12n+1−−−−−√>∑12(n+1)，
因此其是發散的。