1.Riemann可積不一定存在原函式.
f(x)存在原函式,即存在可導函式F(x),使f(x) = F"(x)對定義域內的任意x成立.
可以用Lagrange中值定理證明:
若F(x)在一個區間上處處可導,則導函式F"(x)在該區間內沒有第一類間斷點.
基於如上觀察,可以構造如下例子:
取f(x) = 0,當0 ≤ x
f(x)在[0,1]上有界,且只有一個間斷點x = 1/2,因此f(x)在[0,1]是Riemann可積的.
但是x = 1/2是f(x)的第一類間斷點,因此f(x)在[0,1]沒有原函式.
如果取F(x) = ∫{0,x} f(t)dt,會發現F(x)在x = 1/2處是不可導的,f(x) = F"(x)在該點不成立.
2.原函式存在不一定Riemann可積.
在閉區間[a,b]上Riemann可積需要兩個方面的條件:有界性和連續性(不連續點是零測集).
從前者入手比較容易:
在x ≠ 0處,取F(x) = x^(4/3)·sin(1/x),則F"(x) = -cos(1/x)/x^(2/3)+4x^(1/3)·sin(1/x)/3.
在x = 0處,取F(0) = 0,則F"(0) = lim{x → 0} F(x)/x = lim{x → 0} x^(1/3)·sin(1/x) = 0.
F(x)處處可導.且對任意正整數k,F"(1/(2kπ)) = -(2kπ)^(2/3),因此F"(x)在0的任意鄰域內無界.
於是f(x) = F"(x)在[-1,1]上存在原函式,但不是Riemann可積的(因為不是有界的).
實際上,存在F(x)在R上處處可導,導數有界,但導數不是Riemann可積的(導數的不連續點不零測).
1.Riemann可積不一定存在原函式.
f(x)存在原函式,即存在可導函式F(x),使f(x) = F"(x)對定義域內的任意x成立.
可以用Lagrange中值定理證明:
若F(x)在一個區間上處處可導,則導函式F"(x)在該區間內沒有第一類間斷點.
基於如上觀察,可以構造如下例子:
取f(x) = 0,當0 ≤ x
f(x)在[0,1]上有界,且只有一個間斷點x = 1/2,因此f(x)在[0,1]是Riemann可積的.
但是x = 1/2是f(x)的第一類間斷點,因此f(x)在[0,1]沒有原函式.
如果取F(x) = ∫{0,x} f(t)dt,會發現F(x)在x = 1/2處是不可導的,f(x) = F"(x)在該點不成立.
2.原函式存在不一定Riemann可積.
在閉區間[a,b]上Riemann可積需要兩個方面的條件:有界性和連續性(不連續點是零測集).
從前者入手比較容易:
在x ≠ 0處,取F(x) = x^(4/3)·sin(1/x),則F"(x) = -cos(1/x)/x^(2/3)+4x^(1/3)·sin(1/x)/3.
在x = 0處,取F(0) = 0,則F"(0) = lim{x → 0} F(x)/x = lim{x → 0} x^(1/3)·sin(1/x) = 0.
F(x)處處可導.且對任意正整數k,F"(1/(2kπ)) = -(2kπ)^(2/3),因此F"(x)在0的任意鄰域內無界.
於是f(x) = F"(x)在[-1,1]上存在原函式,但不是Riemann可積的(因為不是有界的).
實際上,存在F(x)在R上處處可導,導數有界,但導數不是Riemann可積的(導數的不連續點不零測).