問題前半部分太籠統，也不好回答，我來回答你的後半部分吧。一樓的回答不是很好，幾何原本就是和座標無關的，如果一個量和座標選取有關，那壓根就不是幾何量。座標是我們研究問題的工具，幾何是我們要研究的問題，不能因為工具的不同而出現不同的研究結果。舉例來說，兩條直線相交有且僅有一個交點，這是個幾何性質，但是你不論在什麼座標系下，這個都是對的。言歸正傳，內蘊幾何其實是隻與曲面的第一基本形式有關的幾何，曲面有第一第二基本形式，並且這兩個基本形式可以唯一確定曲面（當然，它們之間要滿足三個方程），內蘊幾何則是要研究只有第一基本形式所決定的曲面幾何性質。高斯的絕妙定理形象地說來就是“生活在球面上的螞蟻如果足夠理解內蘊幾何，它也能知道自己生活的空間是什麼樣子的，而不需要藉助我們外人的提示”，這裡它們足夠聰明就是指理解內蘊幾何，藉助我們外人的提示則是指透過第二基本形式。曲面上有一個重要的幾何量叫高斯曲率，它的定義是用第一和第二類基本量來定義的，但是高斯透過繁瑣的計算，得到這個量其實只和曲面的第一基本量有關，這就是高斯絕妙定理。現在有了張量的計算，這個定理的證明很簡單了，最後高斯曲率正好等於R—{1212}除以第一基本量組成的行列式開根號，而這些量都是隻和第一基本量有關，這就很簡單證明的了高斯絕妙定理。這些你看隨便一本微分幾何書的“曲面的結構方程”都能找到。這就說明高斯曲率是內蘊量，就這一點，後來被黎曼發展成為“黎曼幾何”，也就是研究黎曼流形只與第一基本形式有關的幾何。形象地說，內蘊幾何是生活在空間的人看自己，而第二基本形式有關的量則是外面的人看這個空間。
至於為什麼叫“絕妙定理”，我有個不是很好的解釋，當然有時候我也給學生講講。原本由第一第二基本量定義的東西后來發現和第二無關，這本身在數學上就是大家關心的問題，這樣流形就可以脫離歐式空間的子流形而獨立存在。我的解釋是這樣的：有個孩子後來發現沒有爸爸也能生出來，難道大家不會給予足夠的關注嗎？
問題前半部分太籠統，也不好回答，我來回答你的後半部分吧。一樓的回答不是很好，幾何原本就是和座標無關的，如果一個量和座標選取有關，那壓根就不是幾何量。座標是我們研究問題的工具，幾何是我們要研究的問題，不能因為工具的不同而出現不同的研究結果。舉例來說，兩條直線相交有且僅有一個交點，這是個幾何性質，但是你不論在什麼座標系下，這個都是對的。言歸正傳，內蘊幾何其實是隻與曲面的第一基本形式有關的幾何，曲面有第一第二基本形式，並且這兩個基本形式可以唯一確定曲面（當然，它們之間要滿足三個方程），內蘊幾何則是要研究只有第一基本形式所決定的曲面幾何性質。高斯的絕妙定理形象地說來就是“生活在球面上的螞蟻如果足夠理解內蘊幾何，它也能知道自己生活的空間是什麼樣子的，而不需要藉助我們外人的提示”，這裡它們足夠聰明就是指理解內蘊幾何，藉助我們外人的提示則是指透過第二基本形式。曲面上有一個重要的幾何量叫高斯曲率，它的定義是用第一和第二類基本量來定義的，但是高斯透過繁瑣的計算，得到這個量其實只和曲面的第一基本量有關，這就是高斯絕妙定理。現在有了張量的計算，這個定理的證明很簡單了，最後高斯曲率正好等於R—{1212}除以第一基本量組成的行列式開根號，而這些量都是隻和第一基本量有關，這就很簡單證明的了高斯絕妙定理。這些你看隨便一本微分幾何書的“曲面的結構方程”都能找到。這就說明高斯曲率是內蘊量，就這一點，後來被黎曼發展成為“黎曼幾何”，也就是研究黎曼流形只與第一基本形式有關的幾何。形象地說，內蘊幾何是生活在空間的人看自己，而第二基本形式有關的量則是外面的人看這個空間。
至於為什麼叫“絕妙定理”，我有個不是很好的解釋，當然有時候我也給學生講講。原本由第一第二基本量定義的東西后來發現和第二無關，這本身在數學上就是大家關心的問題，這樣流形就可以脫離歐式空間的子流形而獨立存在。我的解釋是這樣的：有個孩子後來發現沒有爸爸也能生出來，難道大家不會給予足夠的關注嗎？