向量數量積的幾何意義是：一個向量在另一個向量上的投影定義兩向量的數量積等於其中一個向量的模與另一個向量在這個向量的方向上的投影的乘積兩向量α與β的數量積α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是兩向量的模θ是兩向量之間的夾角(0≤θ≤π) 若有座標α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那麼 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2) 把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影因此用數量積可以求出兩向量的夾角的餘弦cosθ=α·β/|α|*|β| 已知兩個向量A和B,它們的夾角為C,則A的模乘以B的模再乘以C的餘弦稱為A與B的數量積(又稱內積、點積。) 即已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為θ,則數量|a||b|cosθ叫做a與b的數量積,記作a·b"·不可省略若用×則成了向量積性質 向量數量積的基本性質設ab都是非零向量θ是a與b的夾角則 ① cosθ=a·b/|a||b| ②當a與b同向時a·b=|a||b|當a與b反向時a·b=-|a||b| ③ |a·b|≤|a||b| ④a⊥b=a·b=0適用在平面內的兩直線摺疊 向量數量積運算規律 1.交換律α·β=β·α 2.分配律(α+β)·γ=α·γ+β·γ 3.若λ為數(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ) 若λμ為數(λα)·(μβ)=λμ(α·β) 4.α·α=|α|^2 此外α·α=0=α=0 向量的數量積不滿足消去律即一般情況下α·β=α·γα≠0 ≠β=γ 向量的數量積不滿足結合律即一般α·β)·γ ≠α·β·γ 相互垂直的兩向量數量積為0 摺疊 平面向量數量積的座標表示已知兩個非零向量a=x1y1b=x2y2則有a·b=x1x2+y1y2即兩個向量的數量積等於它們對應座標的乘積的和一般地設兩個非零向量a=x1,y1,b=(x2,y2)根據向量的數量積的定義它們的夾角q可由 cosq=(a·b)/(|a|·|b|)=(x1x2+y1y2)/(sqr(x1^2+y1^2)·sqr(x2^2+y2^2))求得由兩個向量垂直的充要條件為a·b=0,可得兩個向量垂直的充要條件為x1x2+y1y2=0 平面向量的分解定理平面向量的分解定理如果e1e2是同一平面內的兩個不平行向量那麼對於這一平面的任意向量a有且只有一對實數n1n2使a=n1·e1+n2·e2 (粗字為向量) 在高中平面幾何的應用平面向量的數量積a·b是一個非常重要的概念利用它可以很容易地證明平面幾何的許多命題例如勾股定理菱形的對角線相互垂直矩形的對角線相等等如證明勾股定理 Rt△ABC中∠C=90°則|CA|^2+|CB|^2=|AB|^2 因AB=CB-CA 所以AB·AB=CB-CA·CB-CA=CB·CB-2CA·CB+CA·CA; 由∠C=90°有CA⊥CB於是CA·CB=0 所以|CA|^2+|CB|^2=|AB|^2 菱形對角線相互垂直菱形ABCD中,點O為對角線ACBD的交點求證AC⊥BD 設|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a 因AC=AB+BC;BD=BC+CD 所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(cosπ-α+cosπ+cos0+cosα 又因為cosα=-cosπ-α cosπ=-1cos0=1 所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α =0 AC⊥BD
向量數量積的幾何意義是：一個向量在另一個向量上的投影定義兩向量的數量積等於其中一個向量的模與另一個向量在這個向量的方向上的投影的乘積兩向量α與β的數量積α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是兩向量的模θ是兩向量之間的夾角(0≤θ≤π) 若有座標α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那麼 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2) 把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影因此用數量積可以求出兩向量的夾角的餘弦cosθ=α·β/|α|*|β| 已知兩個向量A和B,它們的夾角為C,則A的模乘以B的模再乘以C的餘弦稱為A與B的數量積(又稱內積、點積。) 即已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為θ,則數量|a||b|cosθ叫做a與b的數量積,記作a·b"·不可省略若用×則成了向量積性質 向量數量積的基本性質設ab都是非零向量θ是a與b的夾角則 ① cosθ=a·b/|a||b| ②當a與b同向時a·b=|a||b|當a與b反向時a·b=-|a||b| ③ |a·b|≤|a||b| ④a⊥b=a·b=0適用在平面內的兩直線摺疊 向量數量積運算規律 1.交換律α·β=β·α 2.分配律(α+β)·γ=α·γ+β·γ 3.若λ為數(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ) 若λμ為數(λα)·(μβ)=λμ(α·β) 4.α·α=|α|^2 此外α·α=0=α=0 向量的數量積不滿足消去律即一般情況下α·β=α·γα≠0 ≠β=γ 向量的數量積不滿足結合律即一般α·β)·γ ≠α·β·γ 相互垂直的兩向量數量積為0 摺疊 平面向量數量積的座標表示已知兩個非零向量a=x1y1b=x2y2則有a·b=x1x2+y1y2即兩個向量的數量積等於它們對應座標的乘積的和一般地設兩個非零向量a=x1,y1,b=(x2,y2)根據向量的數量積的定義它們的夾角q可由 cosq=(a·b)/(|a|·|b|)=(x1x2+y1y2)/(sqr(x1^2+y1^2)·sqr(x2^2+y2^2))求得由兩個向量垂直的充要條件為a·b=0,可得兩個向量垂直的充要條件為x1x2+y1y2=0 平面向量的分解定理平面向量的分解定理如果e1e2是同一平面內的兩個不平行向量那麼對於這一平面的任意向量a有且只有一對實數n1n2使a=n1·e1+n2·e2 (粗字為向量) 在高中平面幾何的應用平面向量的數量積a·b是一個非常重要的概念利用它可以很容易地證明平面幾何的許多命題例如勾股定理菱形的對角線相互垂直矩形的對角線相等等如證明勾股定理 Rt△ABC中∠C=90°則|CA|^2+|CB|^2=|AB|^2 因AB=CB-CA 所以AB·AB=CB-CA·CB-CA=CB·CB-2CA·CB+CA·CA; 由∠C=90°有CA⊥CB於是CA·CB=0 所以|CA|^2+|CB|^2=|AB|^2 菱形對角線相互垂直菱形ABCD中,點O為對角線ACBD的交點求證AC⊥BD 設|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a 因AC=AB+BC;BD=BC+CD 所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(cosπ-α+cosπ+cos0+cosα 又因為cosα=-cosπ-α cosπ=-1cos0=1 所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α =0 AC⊥BD