個人理解：

歐幾里得的年代，這些公理都是基於簡單觀察得到的，因為沒有更好的公理體系能夠使“兩點之間線段最短”成為定理，所以這個命題也就成了歐幾里得《幾何原本》中的公理。

而到了現在，隨著線性代數的不斷髮展，歐幾里得幾何公理體系已經不再全是歐幾里得本人所總結的那幾條公理了。

除了用變分法證明“兩點之間線段最短”我還不是很會，很多看似公理的命題，線上性代數的框架下我都進行了一定的證明。

我個人總結的歐氏幾何的幾個定義：

向量：也就是一行或者一列的矩陣，前者稱行向量，後者稱列向量。平行：兩個向量線性相關則兩個向量平行。模長：向量與自身內積的平方主根（算術平方根）。單位向量：模長為 的向量。等角：設 均為單位向量，若 ，則稱 間的夾角與 間的夾角為等角，記作 。平角：相反向量間的夾角。直角：平角的一半。垂直：兩個向量所成角為直角則兩個向量垂直。點：向量空間的元素。位置向量：點所對應的向量。直線：相對於定點的同基底相對位置向量與特定非零向量線性相關的點的集合是直線。符號描述為：設 其中 的基底相同，則 為直線， 稱為這一直線的方向向量。平面：相對於定點的同基底相對位置向量與特定的兩個線性無關的非零向量線性相關的點的集合是平面。這兩個線性無關的非零向量的外積稱為該平面的法向量直線的平行：若兩條直線不重合且方向向量線性相關，則兩條直線平行。直線的垂直：若兩條直線的方向向量所成角為直角，則兩條直線垂直。平面的平行：若兩個平面的法向量平行，則兩個平面平行。平面的垂直：若兩個平面的法向量垂直，則兩個平面垂直。

我覺得基於這些定義，有些看似“公理”的命題也就成了定理。

比如，我們可以證明“垂線段最短”，證明方法是利用兩點間距離公式，找出當距離最小時直線上這一點的引數的值，並證明這一點與直線外一點構成的向量與直線的方向向量的內積為 ，進而證明垂線段最短。

比如，我們可以證明“兩點確定一條直線”，“不共線的三點確定一個平面”，證明的方法是將點的座標直接代入圖形方程，待定係數，並判定所得係數矩陣的秩，若秩為 則為平面，秩為 則為直線。

比如，我們還可以證明“同位角相等，兩直線平行”“兩直線平行，同位角相等”，證明的方法是：確定同位角後，透過平行推導兩直線方向向量和截線方向向量的夾角相等（透過求單位向量內積證明）或者這兩個夾角相等，計算出兩條直線的方向向量並判定是否線性相關。

……

當然，正如題主所說，“兩點之間線段最短”也是定理，證明方法就是變分法。