①已知圓周長 和圓半徑 滿足 ，求證圓面積 。

證明：以圓心為極點作極座標系和微圓環，其內半徑為 ，外半徑為 。

那麼，微圓環的面積為 。

也就是說，微圓環面積等於其內周長與寬度之積。

將所有微圓環面積累加即得到圓面積，也就是從 到 對 進行積分。

。證畢！

所以，以圓半徑為自變數時，圓周長是圓面積的導數。即

②已知球表面積 和球半徑 滿足 ，求證球體積 。

證明：以球心為原點作球座標系和微球殼，內半徑為 ，外半徑為 。

那麼，微球殼的體積為 。

也就是說，微球殼體積等於其內表面積與厚度之積。

將所有微球殼體積累加即得到球體積，也就是從 到 對 進行積分。

。證畢！

所以，以球半徑為自變數時，球表面積是球體積的導數。即 。

注意，以上證明過程，不能以 和 為依據，否則淪為迴圈論證。

當 時，二重積分元趨向於長方形。那麼，

，其實引用了長方形面積公式。

當 時，三重積分元趨向於長方體。那麼，

，其實引用了長方體體積公式。（證明省略。）

其實以前學物理的時候也有這樣的例項。位移的導數是速度，速度的導數是加速度，加速度的導數是加加速度，……。原來歷史上，Isaac Newton就用位移的導數定義速度的……