你好，我來回答這個問題

我說的相對白一些，方便理解

求導，其實是在求函式某點的切線斜率，如果一個區間內的導數都大於0，也就是說在這個區間上函式每個點的切線都是向上的，那麼就是說這個函式在這個區間應該是遞增的

也就是說，導數可以判斷函式單調性

而函式的極值的定義是，如果一個函式先增再減，那麼拐彎這個點就是函式的極大值點，極大值點的縱座標就是極大值。極小值同理

這樣就求出極值了

為了計算方便，我們再思考，這個拐彎地方的切線應該是橫著的，也就是倒數是0，所以，如果能確定函式在某點導數為0且左右單調性不同，那這個點就是極值點。

連續函式上某點的導數就是過該點該函式切線的斜率。當導數為零時，切線就是一條水平線。這條切線在切點附近的鄰域內，會將鄰域內除切點外函式上的點分為上下兩部分，有三種情況：

* 這些點都在水平切線上，這時切點就是 極小點；

* 這些點都在水平切線下，這時切點就是 極大點；

* 這些點在水平切線上下都有，則切點不是極值點；

舉例說明：

上圖中，綠色曲線為 y = x² + 1，它的導數曲線（紅色）為 y" = 2x。在 (0, 1) 點綠色曲線的導數為零，於是過該切線 i 是一條水平線。 (0, 1) 點附近除了(0, 1)點外，綠色曲線上的點都在 i 之上，於是 (0, 1) 就是極小值。這就是第一種情況。

上圖中，綠色曲線為 y = -x² + 1，它的導數曲線（紅色）為 y" = -2x，在 (0, 1) 點綠色曲線的導數為零，於是過該點的切線 i 是一條水平線。 (0, 1) 點附近除了(0, 1)點外，綠色曲線上的點都在 i 之下，於是 (0, 1) 就是極大值。這就是第二種情況。

上圖中，藍色曲線為 y = x³ + 1，它的導數曲線（橙色）為 y" = 3x²，在 (0, 1) 點藍色曲線的導數為零，於是過該點的切線 i 是一條水平線。 (0, 1) 點附近除了(0, 1)點外，藍色曲線上的點分置於 i 之上下，可見 (0, 1) 不是極值點。這就是第三種情況。

上圖中，藍色曲線為 y = -x³ + 1，它的導數曲線（橙色）為 y" = -3x²，在 (0, 1) 點藍色曲線的導數為零，於是過該點的切線 i 是一條水平線。 (0, 1) 點附近除了(0, 1)點外，藍色曲線上的點分置於 i 之上下，可見 (0, 1) 不是極值點。這也是第三種情況。

接下來就是如何判斷三種情況的那種。觀察上面四幅圖，可以發現：

第一種情況，函式的導數曲線在 切點的附近鄰域內 單調遞增，如 y = 2x；

第二種情況，函式的導數曲線在 切點的附近鄰域內 單調遞減，如 y = -2x ;

第三種情況，函式的導數曲線在 切點的附近鄰域內 不單調。

於是我們可以根據導函式的在切點附近的單調性來判斷導數為零的切點是否是極值點，是什麼極值點。

而我們知道：

單調遞增函式的導數值恆大等於於零；

單調遞減函式的導數值恆小於等於零；

於是我們只要對曲線的導函式再次求導（即，求二階導數），看二階導數在導數為零的切點附近的值是否均大於等於或小於等於零，就可以判斷的導函式的單調性，從而判斷切點的極值性。例如：

圖1中，導函式是 y" = 2x，再求導 y"" = 2 > 0 , 於是 y" = 2x 單調遞增，進而 (0, 1) 點是極小值；

圖2中，導函式是 y" = -2x，再求導 y"" = -2 < 0 , 於是 y" = -2x 單調遞減，進而 (0, 1) 點是極大值；

圖3中，導函式是 y" = 3x²，再求導 y"" = 6x >=< 0，於是 y" = 3x² 不單調，進而 (0, 1) 點不是極值點； 圖4和圖3類似。