仍然服從泊松分佈。證明如下：

可以證明，並且這些柏松分佈各自的引數還不一樣。

設X1服從引數為λ1的柏松分佈，

設X2服從引數為λ2的柏松分佈。

則對於任意非負整數k，有

P(X1 = k) = e^(-λ1) * λ1^k / k!

P(X2 = k) = e^(-λ2) * λ2^k / k!

於是(sum表示求和)

P(X1 + X2 = m) = sum (P(X1 = k)P(X2 = m - k), k=0,1,...,m) (獨立性，全機率公式)

= sum ([e^(-λ1) * λ1^k / k!][e^(-λ2) * λ2^(m-k) / (m-k)!], k=0,1,...,m)

= e^(-λ1-λ2) λ2^m/m! * sum(m! / [k!(m-k)!] * (λ1/λ2)^k, k=0,1,...,m)

= e^(-λ1-λ2) λ2^m/m! * (1 + λ1/λ2)^m (二項式定理)

= e^(-λ1-λ2) (λ1+λ2)^m / m!

即得X1 + X2符合Po(λ1+λ2)。用數學歸納法可證n個獨立柏松變數的和服從Po(λ1+λ2+...+λn)。