y=1+ln(x+2)的反函式：-2+e^(x-1)。
解答過程如下：
f(x)=1+ln(x+2)
y=1+ln(x+2)
ln(x+2)=y-1
x+2=e^(y-1)
x=-2+e^(y-1)
x，y位置互換
y=-2+e^(x-1)
即原函式的反函式為f^(-1)(x)=-2+e^(x-1)
一般來說，設函式y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個函式g(y)在每一處g(y)都等於x，這樣的函式x= g(y)(y∈C)叫做函式y=f(x)(x∈A)的反函式，記作y=f^(-1)(x) 。反函式y=f ^(-1)(x)的定義域、值域分別是函式y=f(x)的值域、定義域。
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反函式存在定理
定理：嚴格單調函式必定有嚴格單調的反函式，並且二者單調性相同。
在證明這個定理之前先介紹函式的嚴格單調性。
設y=f(x)的定義域為D，值域為f(D)。如果對D中任意兩點x1和x2，當x1<x2時，有y1<y2，則稱y=f(x)在D上嚴格單調遞增；當x1<x2時，有y1>y2，則稱y=f(x)在D上嚴格單調遞減。
證明：設f在D上嚴格單增，對任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。
而由於f的嚴格單增性，對D中任一x"<x，都有y"<y；任一x"">x，都有y"">y。總之能使f(x)=y的x只有一個，根據反函式的定義，f存在反函式f-1。
任取f(D)中的兩點y1和y2，設y1<y2。而因為f存在反函式f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。
若此時x1≥x2，根據f的嚴格單增性，有y1≥y2，這和我們假設的y1<y2矛盾。
因此x1<x2，即當y1<y2時，有f-1(y1)<f-1(y2)。這就證明了反函式f-1也是嚴格單增的。
如果f在D上嚴格單減，證明類似。
y=1+ln(x+2)的反函式：-2+e^(x-1)。
解答過程如下：
f(x)=1+ln(x+2)
y=1+ln(x+2)
ln(x+2)=y-1
x+2=e^(y-1)
x=-2+e^(y-1)
x，y位置互換
y=-2+e^(x-1)
即原函式的反函式為f^(-1)(x)=-2+e^(x-1)
一般來說，設函式y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個函式g(y)在每一處g(y)都等於x，這樣的函式x= g(y)(y∈C)叫做函式y=f(x)(x∈A)的反函式，記作y=f^(-1)(x) 。反函式y=f ^(-1)(x)的定義域、值域分別是函式y=f(x)的值域、定義域。
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反函式存在定理
定理：嚴格單調函式必定有嚴格單調的反函式，並且二者單調性相同。
在證明這個定理之前先介紹函式的嚴格單調性。
設y=f(x)的定義域為D，值域為f(D)。如果對D中任意兩點x1和x2，當x1<x2時，有y1<y2，則稱y=f(x)在D上嚴格單調遞增；當x1<x2時，有y1>y2，則稱y=f(x)在D上嚴格單調遞減。
證明：設f在D上嚴格單增，對任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。
而由於f的嚴格單增性，對D中任一x"<x，都有y"<y；任一x"">x，都有y"">y。總之能使f(x)=y的x只有一個，根據反函式的定義，f存在反函式f-1。
任取f(D)中的兩點y1和y2，設y1<y2。而因為f存在反函式f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。
若此時x1≥x2，根據f的嚴格單增性，有y1≥y2，這和我們假設的y1<y2矛盾。
因此x1<x2，即當y1<y2時，有f-1(y1)<f-1(y2)。這就證明了反函式f-1也是嚴格單增的。
如果f在D上嚴格單減，證明類似。