二次函式作為我們初中學的一個基本初等函式,不僅在初中時是中考的熱點,在高中階段它也繼續發揮著”餘熱”,我們會對它進行更深層次的學習,它與數列、不等式、三角函式等均可以結合出題，尤其是與引數結合進行分類討論更是經典中的經典。判別式更是做題的關鍵。

二次函式的圖象與x軸交點的個數取決於判別式△的值，當判別式的值大於0時，拋物線與x 軸有兩個交點；當判別式的值等於0時，拋物線與x軸有一個交點；當判別式的值小於0時，拋物線與 x 軸沒有交點。

一元二次方程

的根的情況也由判別式△的值決定，當判別式大於0時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；當判別式等於0時，一元二次方程有兩個相等的實數根；當判別式小於0時，一元二次方程沒有實數根。

在實際解題過程中，判別式△往往被作為隱含條件，被我們忽視。從下面幾個例題中，感受判別式的重要性。

在學習函式這一部分，在高中階段圖數結合就更加的緊密，在高中階段需要掌握的有關二次函式部分的內容，我將部分列舉在一下，感興趣的朋友可以看看(初中階段不用掌握)，可以透過函式表示式同時把圖形大致描繪出來，同時，透過函式的圖形判斷係數以及根之間的關係。

初中階段二次函式中根的判別式，是在教材中“二次函式與一元二次方程的關係”這一節中提到的，在教材中，關於它的描述比較簡單，也好理解。

我們將二次函式的圖象——拋物線與座標軸x軸的位置關係分成三種：有兩個交點、有一個交點、無交點，座標軸x軸上所有的點縱座標為0，即可以用解析式來表示，y=0表示x軸，我們對照圖形分析看它的幾何意義：

這種情況下，拋物線與x軸有兩個交點，意味著聯立y=ax²+bx+c與y=0之後，

得一元二次方程ax²+bx+c=0，有兩個不相等的實數根，即為這兩個交點的橫座標。

這種情況下，拋物線與x軸只有一個公共點，意味著聯立y=ax²+bx+c與y=0之後，

得一元二次方程ax²+bx+c=0，有兩個相等的實數根，也可以理解成兩個重合的交點。

這種情況下，拋物線與x軸沒有公共點，意味著聯立y=ax²+bx+c與y=0之後，

得一元二次方程ax²+bx+c=0，沒有實數根。

在以上基礎上，我們可以進一步拓展，既然根的判別式可以用來判別拋物線與x軸的交點情況，那麼可否判別拋物線也直線的交點情況呢？

如下圖：三種拋物線與直線的位置關係中，分別對應聯立後的一元二次方程根的判別式三種情況

聯立拋物線與直線L1之後，根的判別式顯然小於零，與直線L2聯立後，根的判別式等於零，與直線L3聯立後，根的判別式大於零。

主動來答一下。簡單來說說二次問題。二次問題包含二次函式、二次方程、二次不等式。（二次函式沒有根，只有二次方程才有根）

1、對於標準二次函式Y=ax^2+bx+c(a不等於零）而言，函式只有一個工具，就是函式影象—拋物線。（這裡僅以a大於零，開口向上為例）

而與之相關的二次方程ax^2+bx+c=0(a不等於零），它的工具比較多，不太好寫，請看圖：至於二次不等式，它只有解集形式，與本題關係不大，這裡就不說了。

2、上圖二中，二次方程的求根公式，分子上有個根號，根號下就是判別式，我們知道，在實數範圍內，偶次方根下必須大於或等於零，小於零無意義。所以，判別式大於零，該二次方程有兩解；判別式等於零，方程一解（也可以說兩個相同解）；而當判別式小於零，該方程在實數範圍內無解。這就是這個式子之所以叫判別式的由來！

3、至於判別式的幾何意義，就要從第一個圖上看了。二次函式是Y=ax^2+bx+c(a不等於零），其影象是如圖所示的拋物線，平面直角座標系中的X軸，其實就是直線Y=0，二次方程ax^2+bx+c=0(a不等於零）的解，亦指當函式值Y為零時所對應點的橫座標，那麼也就是說，二次函式與X軸有幾個交點，對應的二次方程就有幾個根。這就是判別式的幾何意義。

二次問題是初中的難點，也是高中的重點，要想學好高初中數學，二次問題必須瞭如指掌！

設判別式Δ＝b²－4ac，拋物線頂點到X軸的距離為L，則判別式的幾何意義是：丨Δ丨＝4丨a丨L

① 當拋物線與X軸有兩個交點時，Δ＞0；

② 當拋物線與X軸無交點時，Δ＜0；

二次函式中，根的判別式當然有幾何意義了。

若判別式為正，二次函式的圖象與X軸有兩個不同交點。

如果判別式是零，這個二次函式的圖象與X軸恰有一個交點。

假若判別式為負值，則二次函式的圖象與X軸沒有交點。