求 函式值域的幾種常見方法1．直接法：利用常見函式的值域來求一次函式y=ax+b(a 0)的定義域為R，值域為R；反比例函式 的定義域為{x|x 0}，值域為{y|y 0}；二次函式 的定義域為R，當a>0時，值域為{ }；當a<0時，值域為{ }.例1．求下列函式的值域① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④ 解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5]②∵ ∴ 即函式 的值域是 { y| y 2} ③ ④當x>0，∴ = ，當x<0時， =－ ∴值域是 [2，+ ).（此法也稱為配方法）函式 的影象為：2．二次函式比區間上的值域(最值)：例2 求下列函式的最大值、最小值與值域：① ； 解：∵ ，∴頂點為(2,-3)，頂點橫座標為2. ①∵拋物線的開口向上，函式的定義域R，∴x=2時，ymin=-3 ,無最大值；函式的值域是{y|y -3 }.②∵頂點橫座標2 [3,4]，當x=3時，y= -2；x=4時，y=1； ∴在[3,4]上， =-2， =1；值域為[-2，1].③∵頂點橫座標2 [0,1]，當x=0時，y=1；x=1時，y=-2,∴在[0,1]上， =-2， =1；值域為[-2，1].④∵頂點橫座標2 [0,5]，當x=0時，y=1；x=2時，y=-3, x=5時，y=6,∴在[0,1]上， =-3， =6；值域為[-3，6].注：對於二次函式 ,⑴若定義域為R時，①當a>0時，則當 時，其最小值 ；②當a<0時，則當 時，其最大值 .⑵若定義域為x [a,b],則應首先判定其頂點橫座標x0是否屬於區間[a,b].①若 [a,b],則 是函式的最小值（a>0）時或最大值（a<0）時，再比較 的大小決定函式的最大（小）值.②若 [a,b],則[a,b]是在 的單調區間內，只需比較 的大小即可決定函式的最大（小）值.注：①若給定區間不是閉區間，則可能得不到最大（小）值；②當頂點橫座標是字母時，則應根據其對應區間特別是區間兩端點的位置關係進行討論.3．判別式法（△法）：判別式法一般用於分式函式，其分子或分母只能為二次式，解題中要注意二次項係數是否為0的討論 例3．求函式 的值域方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ①當 y11時 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0由此得 (5y+1) 0 檢驗 時 （代入①求根）∵2 ? 定義域 { x| x12且 x13} ∴ 再檢驗 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11綜上所述，函式 的值域為 { y| y11且 y1 }方法二：把已知函式化為函式 (x12)∵ x=2時 即 說明：此法是利用方程思想來處理函式問題，一般稱判別式法. 判別式法一般用於分式函式，其分子或分母只能為二次式.解題中要注意二次項係數是否為0的討論.4．換元法例4．求函式 的值域解：設 則 t 0 x=1- 代入得 5．分段函式例5．求函式y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：將函式化為分段函式形式： ，畫出它的圖象（下圖），由圖象可知，函式的值域是{y|y 3}.解法2：∵函式y=|x+1|+|x-2|表示數軸上的動點x到兩定點-1，2的距離之和，∴易見y的最小值是3，∴函式的值域是[3，+ ]. 如圖兩法均採用“數形結合”，利用幾何性質求解，稱為幾何法或圖象法.說明：以上是求函式值域常用的一些方法（觀察法、配方法、判別式法、圖象法、換元法等），隨著知識的不斷學習和經驗的不斷積累，還有如不等式法、三角代換法等.有的題可以用多種方法求解，有的題用某種方法求解比較簡捷，同學們要透過不斷實踐，熟悉和掌握各種解法，並在解題中儘量採用簡捷解法.三、練習：1 ；解：∵x 0， ，∴y 11.另外，此題利用基本不等式解更簡捷： 2 ∵2 -4x+3>0恆成立(為什麼？)，∴函式的定義域為R，∴原函式可化為2y -4yx+3y-5=0，由判別式 0，即16 -4×2y(3y-5)=-8 +40y 0(y 0),解得0 y 5，又∵y 0, ∴0 注意：利用判別式法要考察兩端點的值是否可以取到.3 求函式的值域① ； ② 解：①令 0,則 ,原式可化為 ,∵u 0，∴y ，∴函式的值域是（- ， ].②解：令 t=4x- 0 得 0 x 4 在此區間內 (4x- ) =4 ，(4x- ) =0∴函式 的值域是{ y| 0 y 2}小結:求函式值域的基本方法（直接法、換元法、判別式法）；二次函式值域（最值）或二次函式在某一給定區間上的值域（最值）的求法.作業：求函式y= 值域解：∵ ，∴函式的定義域R，原式可化為 ,整理得 ，若y=1,即2x=0,則x=0；若y 1,∵ R，即有 0，∴ ,解得 且 y 1.綜上：函式是值域是{y| }.

1．觀察法用於簡單的解析式。y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).2.配方法多用於二次(型)函式。y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）3. 換元法多用於複合型函式。透過換元，使高次函式低次化，分式函式整式化，無理函式有理化，超越函式代數以方便求值域。特別注意中間變數（新量）的變化範圍。4. 不等式法用不等式的基本性質，也是求值域的常用方法。y=（e^x+1）/(e^x-1), (0