回覆列表
  • 1 # 使用者9871089858895

      一。觀察法

      透過對函式定義域、性質的觀察,結合函式的解析式,求得函式的值域。

      例1求函式y=3+√(2-3x) 的值域。

      點撥:根據算術平方根的性質,先求出√(2-3x) 的值域。

      解:由算術平方根的性質,知√(2-3x)≥0,

      故3+√(2-3x)≥3.

      ∴函式的知域為。

      點評:算術平方根具有雙重非負性,即:(1)被開方數的非負性,(2)值的非負性。

      本題透過直接觀察算術平方根的性質而獲解,這種方法對於一類函式的值域的求法,簡捷明瞭,不失為一種巧法。

      練習:求函式y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域為:{0,1,2,3,4,5})

      二。反函式法

      當函式的反函式存在時,則其反函式的定義域就是原函式的值域。

      例2求函式y=(x+1)/(x+2)的值域。

      點撥:先求出原函式的反函式,再求出其定義域。

      解:顯然函式y=(x+1)/(x+2)的反函式為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數,故函式y的值域為{y∣y≠1,y∈R}。

      點評:利用反函式法求原函式的定義域的前提條件是原函式存在反函式。這種方法體現逆向思維的思想,是數學解題的重要方法之一。

      練習:求函式y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函式的值域為{y∣y<-1或y>1})

      三。配方法

      當所給函式是二次函式或可化為二次函式的複合函式時,可以利用配方法求函式值域

      例3:求函式y=√(-x2+x+2)的值域。

      點撥:將被開方數配方成平方數,利用二次函式的值求。

      解:由-x2+x+2≥0,可知函式的定義域為x∈[-1,2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]

      ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函式的值域是[0,3/2]

      點評:求函式的值域不但要重視對應關係的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。

      練習:求函式y=2x-5+√15-4x的值域。(答案:值域為{y∣y≤3})

      四。判別式法

      若可化為關於某變數的二次方程的分式函式或無理函式,可用判別式法求函式的值域。

      例4求函式y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

      點撥:將原函式轉化為自變數的二次方程,應用二次方程根的判別式,從而確定出原函式的值域。

      解:將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)

      當y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2

      當y=2時,方程(*)無解。∴函式的值域為2

      點評:把函式關係化為二次方程F(x,y)=0,由於方程有實數解,故其判別式為非負數,可求得函式的值域。常適應於形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函式。

      練習:求函式y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域為y≤-8或y>0)。

      五。值法

      對於閉區間[a,b]上的連續函式y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的較值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函式的值,可得到函式y的值域。

      例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函式z=xy+3x的值域。

      點撥:根據已知條件求出自變數x的取值範圍,將目標函式消元、配方,可求出函式的值域。

      解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,將y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

      ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函式z在區間[-1,3/2]上連續,故只需比較邊界的大小。

      當x=-1時,z=-5;當x=3/2時,z=15/4.

      ∴函式z的值域為{z∣-5≤z≤15/4}。

      點評:本題是將函式的值域問題轉化為函式的值。對開區間,若存在值,也可透過求出值而獲得函式的值域。

  • 2 # 使用者9556649526403

    y=(x-1)²+1開口向上,最低點是(1.1)第一種情況當t=1或t=0時x屬於[1,2]那值域為y屬於[1,2]第二種情況當t>1時函式最小值時x=t值域為y屬於[t²-2t+2,t²+1]第三種情況當t<0時函式最小是時x=t+1則值域為y屬於[t²+1,t²-2t+2]第四種情況就是函式的最低點處於x的取值範圍內,即1屬於[t,t+1]中,這個時候函式的最小值還是x=1的時候,但是最大值需要討論,當0.5<t<1是x=t+1為最大值,值域為[1,t²+1]當0<t<0.5時x=t取到最大值值域為[1,t²]其實這種題目你分析一下開口,最低點在哪裡,畫個圖出來就很好做了

  • 中秋節和大豐收的關聯?
  • 我的血壓原來很高這幾年逐年下降已下降至40/80?