試試吧，不一定對。

假設木桶底面h=0（勢能0點）；木桶的重量m1,重心h1;水的重量m2,重心h2;總體的重心h3;

則有

m1*h1*g+m2*h2*g=(m1+m2)*h3*g;

h3=(m1h1+m2h2)/(m1+h2)=(m1h1+m2h1)/(m1+m2)- (m2h1-m2h2)/(m1+m2);

h3=h1- m2*(h1-h2)/(m1+m2);

很明顯：一、h1,m1固定不變；二、隨著水位下降，h2變小；三、無論木桶的重心如何，h2一定會有小於h1的時候；

那麼我們考慮m2*(h1-h2)/(m1+m2)的最大值，即為h3的最小值；

一、假設木桶內部空間為圓柱體，其地面積為S;

m2=S*h2*水的比重（常數）= c*h2;(c為常數）；

m2*(h1-h2)= c*h2(h1-h2);

因為m1+m2>0;所以我們只考慮h1-h2>0的情況,即0

當h2=h1/2時， h2(h1-h2)取得最大值；（二次曲線可知， h2(h1-h2)= h1*h1/4 - (h2-h1/2)*(h2-h1/2);）

1.當 h2從h1到h1/2變化時，m2*(h1-h2)分子漸增/(m1+m2)分母漸減，故m2*(h1-h2)/(m1+m2)漸增；

2.考慮 h2從h1/2到0變化時，

h2(h1-h2)關於h2二階遞減；

(m1+m2)=m1+ch2>=m1 關於h2一階遞減；

故m2*(h1-h2)/(m1+m2)關於h2一階遞減；(不太肯定這樣說對不對，我也證明不出來，唉)

由1，2可知當h2=h1/2時，h3取得最小值，即整體的重心最低。

二、如果木桶內部為圓錐形，我想了2個圓錐的之差可得水的體積，可是跟h的關係太亂了。我沒轍了。哈哈