奇函式的原函式一定是偶函式，但偶函式的原函式不一定是奇函式。解：f(-x)=-f(x)F(x)=∫f(x)dx+CF(-x)=∫f(x)dx+C(令u=-x)=∫f(-u)d(-u)+C=-∫f(-u)du+C=-∫[-f(u)]du+C=∫f(u)du+C=∫f(x)dx+C=F(x)所以奇函式的原函式(如果存在的話)是偶函式。性質：

1、兩個奇函式相加所得的和或相減所得的差為奇函式。

2、一個偶函式與一個奇函式相加所得的和或相減所得的差為非奇非偶函式。

3、兩個奇函式相乘所得的積或相除所得的商為偶函式。

4、一個偶函式與一個奇函式相乘所得的積或相除所得的商為奇函式。擴充套件資料：利用奇偶函式的定義來判斷（這是最基本，最常用的方法）定義：如果對於函式y=f（x）的定義域A內的任意一個值x，都有f（-x）=-f（x）則這個函式叫做奇函式f（-x）=f（x），則這個函式叫做偶函式。奇函式在其對稱區間[a,b]和[-b，-a]上具有相同的單調性，即已知是奇函式，它在區間[a,b]上是增函式（減函式），則在區間[-b，-a]上也是增函式（減函式）。偶函式在其對稱區間[a,b]和[-b，-a]上具有相反的單調性，即已知是偶函式且在區間[a,b]上是增函式（減函式），則在區間[-b，-a]上是減函式（增函式）。但由單調性不能倒導其奇偶性。驗證奇偶性的前提要求函式的定義域必須關於原點對稱。用求和（差）法判斷：若f（x）-f（-x）=2f（x），則f（x）為奇函式。若f（x）+f（-x）=2f（x），則f（x）為偶函式。

已知：f"(x)=f(x);f(x)=-f(-x),x∈(-a,a),a為常數

求證：f(-x)=f(x)

證明：當x∈(-a,a),a為常數,

令x=任意t，t∈(-a,a),a為常數,

∵f"(x)=f(x);f(x)=-f(-x)

∴f(-t)

=∫[下限-a,上限-t]f"(-t)

=∫[下限-a,上限-t]f(-t)

=∫[下限-a,上限-t][-f(t)]

=-∫)=∫[下限-a,上限-t]f(t);

而f(t)

=∫[下限-a,上限t]f"(t)

=∫[下限-a,上限t]f(t)

=∫[下限-a,上限-t]f(t)+∫[下限-t,上限t]f(x)

{∵f(x)=-f(-x),∴∫[下限-t,上限t]f(x)=0}

=∫[下限-a,上限-t]f(t)

∴f(-x)=f(x)得證

所以，導函式是奇函式則原函式是偶函式。

如果要通俗證明的話可以利用函式影象的性質。

比如，做一個以原點對稱的任意奇函式圖形，它在定義域內與x軸圍成的面積就是其原函式的函式圖形。

由於x軸下方的面積是為負，而函式影象是關於原點對稱的，也就是說[a,o]與[0,a]（a屬於定義域）範圍內的影象總是分處在x軸的上下兩邊，並且面積是相等的。因此，這兩塊面積相加的和總是等於零。

原函式取某個值的影象是從定義域左端到定義域上某點（x)範圍內圖形的面積,而從x到-x範圍，影象的面積為零。因此，原函式取某個值（x)的影象面積等於它取（－x)的影象的面積。這意味著原函式在這兩點上是等值的。由於x是任意取的值，因此，可以說明影象上所有點都具有這個性質，即影象面積關於y軸對稱。

這樣，就可以證明原函式是偶函式。