先說答案,可能。
最簡單的方法,任意一組勾股數的倍數依然是勾股數,所以取兩組勾股數,找到斜邊的一個公倍數,其他數按比例調整就可以了。
例如(3,4,5)和(5,12,13)都是勾股數,分別擴大13倍和5倍,得到(39,52,65)和(25,60,65)就滿足題意。
如果再進一步,要求兩組勾股數都是本原勾股數(3個數沒有大於1的公因子),也是可以做到的。
例如(36,77,85)和(13,84,85)
要搞清問題本質的話,先要列出本原勾股數的公式
其中 互質且為一奇一偶(不滿足這個條件,也能得到勾股數,但一定不是本原勾股數)
證明可以由初等數論得到。
由此引出問題:怎樣的c可以表示為兩組不同的正整數的平方和?
先放一個結論:一個正整數能表示成兩個正整數的平方和 這個正整數沒有 型的質數因子
接下來要用到一點近世代數的理論:我們在整數環里加入元素 ,把得到的環記作
可以發現,整數環 裡 和每個 型質數都是 中兩個元素的乘積。
例如: ,
由此也容易看出, ,
要得到一個可以表示為兩組不同的正整數的平方和的數,只需要取兩個 型質數,其乘積就滿足條件。
例如:
兩組因子先拆開,分別和另一組因子相乘,便得到兩個結果:
由此看出: ,再代入勾股數公式,便可以得到之前的兩組本原勾股數。
我們還能找到更多本原勾股數,它們的斜邊相同。
得到四組 的值:
得到四組斜邊相同的本原勾股數:
先說答案,可能。
最簡單的方法,任意一組勾股數的倍數依然是勾股數,所以取兩組勾股數,找到斜邊的一個公倍數,其他數按比例調整就可以了。
例如(3,4,5)和(5,12,13)都是勾股數,分別擴大13倍和5倍,得到(39,52,65)和(25,60,65)就滿足題意。
如果再進一步,要求兩組勾股數都是本原勾股數(3個數沒有大於1的公因子),也是可以做到的。
例如(36,77,85)和(13,84,85)
要搞清問題本質的話,先要列出本原勾股數的公式
其中 互質且為一奇一偶(不滿足這個條件,也能得到勾股數,但一定不是本原勾股數)
證明可以由初等數論得到。
由此引出問題:怎樣的c可以表示為兩組不同的正整數的平方和?
先放一個結論:一個正整數能表示成兩個正整數的平方和 這個正整數沒有 型的質數因子
接下來要用到一點近世代數的理論:我們在整數環里加入元素 ,把得到的環記作
可以發現,整數環 裡 和每個 型質數都是 中兩個元素的乘積。
例如: ,
由此也容易看出, ,
要得到一個可以表示為兩組不同的正整數的平方和的數,只需要取兩個 型質數,其乘積就滿足條件。
例如:
兩組因子先拆開,分別和另一組因子相乘,便得到兩個結果:
由此看出: ,再代入勾股數公式,便可以得到之前的兩組本原勾股數。
我們還能找到更多本原勾股數,它們的斜邊相同。
得到四組 的值:
得到四組斜邊相同的本原勾股數: