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  • 1 # 使用者606775430381

    先說答案,可能。

    最簡單的方法,任意一組勾股數的倍數依然是勾股數,所以取兩組勾股數,找到斜邊的一個公倍數,其他數按比例調整就可以了。

    例如(3,4,5)和(5,12,13)都是勾股數,分別擴大13倍和5倍,得到(39,52,65)和(25,60,65)就滿足題意。

    如果再進一步,要求兩組勾股數都是本原勾股數(3個數沒有大於1的公因子),也是可以做到的。

    例如(36,77,85)和(13,84,85)

    要搞清問題本質的話,先要列出本原勾股數的公式

    其中 互質且為一奇一偶(不滿足這個條件,也能得到勾股數,但一定不是本原勾股數)

    證明可以由初等數論得到。

    由此引出問題:怎樣的c可以表示為兩組不同的正整數的平方和?

    先放一個結論:一個正整數能表示成兩個正整數的平方和 這個正整數沒有 型的質數因子

    接下來要用到一點近世代數的理論:我們在整數環里加入元素 ,把得到的環記作

    可以發現,整數環 裡 和每個 型質數都是 中兩個元素的乘積。

    例如: ,

    由此也容易看出, ,

    要得到一個可以表示為兩組不同的正整數的平方和的數,只需要取兩個 型質數,其乘積就滿足條件。

    例如:

    兩組因子先拆開,分別和另一組因子相乘,便得到兩個結果:

    由此看出: ,再代入勾股數公式,便可以得到之前的兩組本原勾股數。

    我們還能找到更多本原勾股數,它們的斜邊相同。

    得到四組 的值:

    得到四組斜邊相同的本原勾股數:

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