考慮電子在週期勢場中的運動，它有兩個極限，一個是週期勢場非常弱，弱到電子幾乎可看做是“自由”地執行的。這就是近自由電子近似。

另一個極限是週期勢場很強，強到電子幾乎只能在一個格點附近運動。但如果真嚴格到電子只能在晶格內一個格點上運動，這個解就是平庸的。

比如電子處在第一個格點內，電子的能量是E0，電子在第二個格點內，電子的能量也是E0，……

我們對這個過分嚴格的條件稍加放鬆，允許電子可以有一定機率出現在相鄰格點上，但絕對不允許電子出現在相鄰的相鄰格點上，這就是所謂緊束縛近似。

根據緊束縛近似的條件，電子的哈密頓算符應滿足：

上式右側第一項表示電子位於格點n時的能量是E0，同時電子還可以向左運動到格點n-1，向右運動到格點n+1，對應能量都是-Δ。

假設T(a)表示平移算符，a是晶格常數，對週期勢場V(x)=V(x+a)而言，哈密頓量H與平移算符T(a)是對易的，[H, T(a)]=0。

這意味著存在H和T(a)的共同本徵態θ，

我們構造θ為電子位於不同格點n的所有本徵態的疊加：

我們可以驗證θ確實是平移算符T(a)的本徵態，

考慮到T(a)是平移算符，滿足：

所以：

考慮到T(a)是么正算符，但不一定是厄米算符，所以T(a)的本徵值不一定是實數。

現在來計算Hθ=?

為了理解上式中出現的引數θ，我們考慮波函式θ(x")和θ(x"-a)，

考慮：

由上式可知：θ=ka，這意味著在緊束縛近似下，薛定諤方程的能量本徵值是：E(k)=E0-2Δcoska。

緊束縛近似下求解出來的色散關係E(k)

這個解是嚴格成立的，在推導過程中並沒有用到微擾論。

其次我們還可以得到：u(x"-a)=u(x")，這正是固體物理中的布洛赫定理。布洛赫定理說，電子在週期勢中的波函式θ(x")可表示為：

的形式，其中u是晶格a的週期函式。

值得一提的是在“近自由電子近似”下，我們把弱的週期勢V用微擾處理，布里淵區邊緣的地方由於電子能量接近而發生強烈的混合（簡併微擾，或近簡併微擾），導致能量本徵值顯著地升高或降低，從而使色散關係明顯地偏離自由電子的色散關係（拋物線形）。

近自由電子近似下，電子色散關係在微擾理論下在布里淵區的邊界處開啟一個能隙（gap）。

先給出答案，緊束縛近似用到了微擾論

在固體物理學中，緊束縛模型（或TB模型）是使用基於孤立原子的波函式的線性疊加的一組近似波函式來計算電子能帶結構的方法。 該方法與化學中使用的LCAO方法（原子軌道線性組合法）類似。 緊束縛模型應用於各種固體。在許多情況下，該模型給出了很好的定性結果。並且可以與其他模型結合，在緊束縛模型失效的情況下給出更好的結果。 雖然緊束縛模型是單電子模型，但該模型還為更高階的計算提供了基礎，如計算表面態、多體問題上的應用以及準粒子相關的計算。

提出背景

1928年，羅伯特·穆利肯（Robert Mulliken）提出了分子軌道的想法，弗里德里希·亨德（Friedrich Hund）的工作對他的想法有很大的啟發。後來分子軌道的LCAO方法於1928年由B.N.Finklestein和G.E.Howowitz引入。而LCAO固體方法由Felix Bloch發展，是他1928年博士論文的一部分，與LCAO-MO方法同時並且獨立研究。用於近似電子能帶結構的更簡單的方法，是由約克·克拉克·斯萊特（John Clarke Slater）和喬治·弗雷德·科斯特（George Fred Koster）在1954年構造的引數化緊束縛方法，該方法有時被稱為SK緊束縛法。特別是對於過渡金屬的d電子，該方法顯得非常適用。使用SK緊束縛方法，固體電子能帶結構計算不需要像原始布洛奇定理那樣以嚴格的方式進行，而是僅在高對稱點進行第一原理計算，而能帶結構在這些點之間的布里淵區域的其餘部分可以內插。

在這種方法中，不同原子之間的相互作用被認為是微擾。晶體哈密爾頓運算元只是位於不同位置的原子哈密爾頓運算元的總和，並且原子波函式與晶體中的相鄰原子位置重疊，因此波函式不是精確的表示。

最近，關於強關聯材料的研究中，緊束縛方法只作為基本近似，因為像3-d過渡金屬電子這樣的高度局域化電子有時顯示出強關聯的行為。在這種情況下，必須使用多體物理來描述電子 - 電子相互作用。

緊束縛模型通常用於計算靜態環境中的電子帶結構和帶隙。然而，結合隨機相位近似（RPA）模型等其他方法，也可以研究系統的動態過程。

原子附近的電子主要受到該原子的勢場作用，將其它原子對電子的作用看做微擾。將晶體中電子的波函式看作原子軌道波函式的線性疊加。

1. 基本思想

緊束縛近似

近自由電子近似方法認為原子實對電子的作用很弱，因而電子的運動基本上是自由的。其結果主要適用於金屬的價電子，但對其他晶體中的電子，即使是金屬的內層電子也並不適用。在大多數晶體中，電子並不是那麼自由的，即使是金屬和半導體中，其內層電子也要受到原子實較強的束縛作用。當晶體中原子的間距較大，因而原子實對電子有相當強的束縛作用。因此，當電子距某個原子實比較近時，電子的運動主要受該原子勢場的影響，這時電子的行為同孤立原子中電子的行為相似。這時，可將孤立原子看成零級近似，而將其他原子勢場的影響看成小的微擾。這種方法稱為緊束縛近似 (Tight Binding Approximation)。

2. 哈密頓量的組成形式

Tb model，在孤立原子軌道上的能量看成零級近似，而將其他原子勢場的影響看成小的微擾。

3. 電子波函式

Tb model，晶體電子波函式由孤立原子軌道波函式線性疊加而成

晶體中的週期性勢場為所有孤立原子的勢場之和

電子的波函式為原子軌道波函式的線性疊加

① 電子在原子間隧穿，在各原子附近有出現的機率～|am|2② N 個簡併態的簡併微擾。一個原子能級ei對應一個能帶，不同的原子能級對應不同的能帶。當原子形成固體後，形成了一系列能帶能量較低的能級對應的能帶較窄能量較高的能級對應的能帶較寬

能帶結構