證明：

你的題寫錯了，應該是：f(1)=1

本題考查介質定理和拉格朗日中值定理！

∵1/3,2/3∈(0,1)

f(x)在[0,1]上連續，

∴根據介值定理，x1，x2∈(0,1)，使得：

f(x1)=1/3

f(x2)=2/3

又∵

f(x)在區間(0,x1),(x1,x2),(x2,1)可導，在[0,x1],[x1,x2],[x2,1]連續，

根據拉格朗日中值定理：

ξ1∈(0,x1)

ξ2∈(x1,x2)

ξ3∈(x2,1)

使得：

f(x1)-f(0) =f"(ξ1)·(x1-0)

f(x2)-f(x1)=f"(ξ2)·(x2-x1)

f(1)-f(x2)=f"(ξ3)·(1-x2)

因此：

1/f"(ξ1) = (x1-0)/f(x1)-f(0) =x1/(1/3)=3x1

1/f"(ξ2) = (x2-x1)/f(x2)-f(x1) =(x2-x1)/(1/3)=3x2-3x1

1/f"(ξ3) = (1-x2)/f(1)-f(x2) =(1-x2)/(1/3)=3-3x2

上述各式相加：

1/f"(ξ1) + 1/f"(ξ2) + 1/f"(ξ3) = 3x1+3x2-3x1+3-3x2=3

證畢！

想了一個下午，加點分吧！